I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Định nghĩa
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là một số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.
an=a.a.a.....a (n thừa số a)
Với a≠0 thì a0=1,a−n=1an.
Chú ý
0n và 0−n không có nghĩa.
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
2. Căn bậc n
a) Định nghĩa
Cho số thực b và số nguyên dương n(n≥2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an=b.
b) Chú ý
+) Với n lẻ và b∈R thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu n√b.
+) Với n chẵn và:
b<0 thì không tồn tại căn bậc n của b.
b=0 thì có duy nhất một căn bậc n của b là số 0.
b>0 thì có hai căn trái dấu, kí hiệu n√b và −n√b.
c) Tính chất
n√a.n√b=n√abn√an√b=n√ab(n√a)m=n√amn√an={a,nếunlẻ|a|,nếunchẵnn√k√a=nk√a
Ví dụ
3√−4.3√54=3√(−4).54=3√−216=−6
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn, trong đó m∈Z, n∈N, n≥2.
Lũy thừa của số a với số mũ r là số ar xác định bởi
ar=amn=n√am
Đặc biệt: Khi m=1: a1n=n√a
Ví dụ:
16−34=4√16−3=14√163 =1(4√16)3=123=18
II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho a,b là những số thực dương; α,β là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:
aα.aβ=aα+βaαaβ=aα−β(aα)β=aαβ(ab)α=aαbα(ab)α=aαbα
Nếu a>1 thì aα>aβ⇔α>β.
Nếu a<1 thì aα>aβ⇔α<β.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A=a√2+1.a3−√2(a√3−1)√3+1
Ta có:
A=a√2+1.a3−√2(a√3−1)√3+1=a√2+1+3−√2a(√3−1)(√3+1)=a4a3−1=a2
