Video hướng dẫn giải
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
y=2+3x−x3;
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm có y′=0 hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị: y(xi).
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. (lim )
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết:
y=2+3x-{{x}^{3}}.
1) TXĐ: D=R.
2) Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Ta có: y'=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..
Trên khoảng \left( -1;\ 1 \right),\ y'>0 nên hàm số số đồng biến, trên khoảng \left( -\infty ;-1 \right) và \left( 1;+\infty \right) có y'<0 nên hàm số nghịch biến.
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1;\ \ {{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=4. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1;\ \ {{y}_{CT}}=y\left( -1 \right)=0.
+) Giới hạn vô cực:
\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^2}}} - 1} \right) = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^2}}} - 1} \right) = - \infty \end{array}
+) Bảng biến thiên:
+) Đồ thị:
Ta có: 2+3x-{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm \left( 2;\ 0 \right) và \left( -1;\ 0 \right).
Ta có: y''=-6x; y''=0 ⇔ x=0. Với x=0 ta có y=2. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(0;2) làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ x=-2 suy ra y=4.
LG b
y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x;
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x
Tập xác định: D=\mathbb{R}.
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 3x^2+ 8x + 4.
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.
Hàm số đồng biến trên các khoảng \left( { - \infty ; - 2} \right) và \left( { - \dfrac{2}{3}; + \infty } \right) và nghịch biến trên \left( { - 2; - \dfrac{2}{3}} \right).
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại ycđ = y(-2) = 0.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=-\dfrac{2}{3}, giá trị cực tiểu y_{ct}=y\left ( -\dfrac{2}{3} \right )=-\dfrac{32}{27}.
Giới hạn:
\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) = + \infty \end{array}
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;0), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0 hoặc x=-2 nên tọa độ các giao điểm là (0;0) và (-2;0).
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: y''=6x+8;\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{3}\Rightarrow y=-\dfrac{16}{27}.
LG c
y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x;
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số y = x^3 + x^2+ 9x
Tập xác định: D=\mathbb{R}.
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = 3x^2+ 2x + 9 =2x^2+(x^2+2x+1)+8 =2x^2+(x+1)^2+8 > 0, ∀x.
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R} và không có cực trị.
Giới hạn:
\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 9x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right) = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 9x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right) = + \infty \end{array}
Bảng biến thiên :
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0), cắt trục Oy tại điểm (0;0).
Tâm đối xứng:
y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔ x=-\frac{1}{3}.
Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: I\left ( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{79}{27} \right ).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;-9) và \left ( \dfrac{1}{2};\dfrac{39}{8} \right ).
LG d
y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số y=-2x^3+5
Tập xác định: D=\mathbb{R}.
Sự biến thiên:
Đạo hàm: y' = -6x^2≤ 0, ∀x.
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \mathbb R.
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( { - 2 + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( { - 2 + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right) = - \infty \end{array}
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Tính đối xứng: y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0.
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(0;5) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5), đồ thị cắt trục Ox tại điểm \left( {\sqrt[3]{{\dfrac{5}{2}}};0} \right).
