Video hướng dẫn giải
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\);
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y'=0\) hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. (\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y\) )
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).\)
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).\)
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết:
\(y=2+3x-{{x}^{3}}.\)
1) TXĐ: \(D=R.\)
2) Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
Ta có: \(y'=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right),\ y'>0\) nên hàm số số đồng biến, trên khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right)\) có \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến.
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=4.\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1;\ \ {{y}_{CT}}=y\left( -1 \right)=0.\)
+) Giới hạn vô cực:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^2}}} - 1} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^2}}} - 1} \right) = - \infty
\end{array}\)
+) Bảng biến thiên:
+) Đồ thị:
Ta có: \(2+3x-{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm \(\left( 2;\ 0 \right)\) và \(\left( -1;\ 0 \right).\)
Ta có: \(y''=-6x\); \(y''=0 ⇔ x=0\). Với \(x=0\) ta có \(y=2\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0;2)\) làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \(x=-2\) suy ra \(y=4\).
LG b
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\);
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}4x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 8x + 4\).
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - \dfrac{2}{3}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 2; - \dfrac{2}{3}} \right).\)
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), giá trị cực đại \(y\)cđ = \(y(-2) = 0\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\dfrac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=y\left ( -\dfrac{2}{3} \right )=-\dfrac{32}{27}.\)
Giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) = + \infty
\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0\) hoặc \(x=-2\) nên tọa độ các giao điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\).
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y''=6x+8;\)\(\Rightarrow y''=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{3}\Rightarrow y=-\dfrac{16}{27}.\)
LG c
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}9x\);
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \(y = x^3 + x^2+ 9x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = 3x^2+ 2x + 9\) \(=2x^2+(x^2+2x+1)+8\) \(=2x^2+(x+1)^2+8 > 0, ∀x.\)
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 9x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right) = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + {x^2} + 9x} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{{{x^2}}}} \right) = + \infty
\end{array}\)
Bảng biến thiên :
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại điểm \((0;0)\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\).
Tâm đối xứng:
\(y''=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔\) \(x=-\frac{1}{3}.\)
Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I\left ( -\dfrac{1}{3};-\dfrac{79}{27} \right ).\)
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((-1;-9)\) và \(\left ( \dfrac{1}{2};\dfrac{39}{8} \right ).\)
LG d
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}-2{x^3} + {\rm{ }}5\)
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \(y=-2x^3+5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y' = -6x^2≤ 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb R\).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( { - 2 + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( { - 2 + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right) = - \infty
\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Tính đối xứng: \(y''=-12x; y''=0 ⇔ x=0\).
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn \(I(0;5)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;5)\), đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{5}{2}}};0} \right).\)
