Video hướng dẫn giải
Cho hàm số: y=−x4+2mx2−2m+1 ( m là tham số) có đồ thị (Cm).
LG a
a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.
Phương pháp giải:
Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: y′=0. Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình y′=0.
Lời giải chi tiết:
y=−x4+2mx2−2m+1 (Cm).
Tập xác định: D=R
Ta có: y′=−4x3+4mx=−4x(x2−m)
⇒y′=0⇔−4x(x2−m)=0 ⇔[x=0x2=m.
+) Với m≤0 thì y′ có một nghiệm x=0 và đổi dấu + sang – khi qua nghiệm này.
Do đó hàm số có một điểm cực đại là x = 0
+) Với m>0 phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.
Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là x = ± \sqrt m và có một điểm cực tiểu là x = 0.
LG b
b) Với giá trị nào của m thì (C_m) cắt trục hoành?
Phương pháp giải:
(C_m) cắt trục hoành \Leftrightarrow phương trình y=f(x)=0 có nghiệm.
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C_m) và trục hoành là:
\begin{array}{l} - {x^4} + 2m{x^2} - 2m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - 2m\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 1 = 0\\ {x^2} - 2m + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm 1\\ {x^2} = 2m - 1 \end{array} \right.. \end{array}
Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm x = ± 1 với mọi m nên (C_m) luôn cắt trục hoành.
Cách khác:
– Xét m ≤ 0, phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Ta có bảng biến thiên :
\((Cm)\) cắt trục hoành ⇔ 1 – 2m ≥ 0
⇔ m ≤ \frac{1}{2}
Kết hợp m ≤ 0 ta được m ≤ 0 (1)
- Xét m > 0, phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm 0 ; \pm \sqrt m
Ta có bảng biến thiên :
(C_m) cắt trục hoành \Leftrightarrow {(m - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m \ne 1
Kết hợp với m > 0 ta được m > 0 (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra (C_m) cắt trục hoành với mọi m ∈ R.
LG c
c) Xác định m để (C_m) có cực đại, cực tiểu.
Phương pháp giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu \Leftrightarrow phương trình y'=f'(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với m > 0 thì đồ thị (C_m) có cực đại và cực tiểu.
