Đề bài
Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kết quả: Hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.
Bước 1: Xác định trục \(d\) của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực \((P)\) của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Lời giải chi tiết
Giả sử ta có hình chóp \(S.{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\) với \({A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\) là đa giác đáy.
Ta có: \(S{A_1} = S{A_2} = S{A_3} = ... = S{A_n}\)
Kẻ \(SH\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Dễ thấy: \(\Delta \;SH{A_1} = \Delta \;SH{A_2} = \Delta \;SH{A_3} = ... = \Delta \,SH{A_n}\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow H{A_1} = H{A_2} = H{A_3} = ... = H{A_n}\)
\( \Rightarrow \) H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy \({A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}\)
Xét tam giác \(\Delta \,SH{A_1}\), kẻ đường trung trực của cạnh \(S{A_1}\), đường này cắt \(SH\) ở điểm \(I\)
\(\Rightarrow IA = IS\).
Xét \(\Delta \;SI{A_1},\Delta \;SI{A_2},\Delta \;SI{A_3},...,\Delta \,SI{A_n}\) ta có:
\(\left. \begin{array}{l}
IS \text{ chung} \\
S{A_1} =S{A_2} = ... = \,S{A_n}\\
\widehat {SI{A_1}} =\widehat {SI{A_2}} = ... = \widehat {SI{A_n}}
\end{array} \right\}\)
\( \Rightarrow \Delta SI{A_1} = \Delta SI{A_2} = ... = \Delta SI{A_n}\)
\( \Rightarrow I{A_1} = \;I{A_2} = \;I{A_3} = ... = \,I{A_n} = IS\)
hay điểm \(I\) cách đều các đỉnh của hình chóp, do đó \(I\) là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.
