Video hướng dẫn giải
Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
LG a
\(\displaystyle y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\)
Phương pháp giải:
B1: Tính đạo hàm \(y'\)
B2: Tìm nghiệm của phương trình \(y'=0 \), các giá trị của x mà tại đó hàm số k xác định
B3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
Biết rằng
a) Nếu \(f'(x)> 0\) với mọi \(x \in(a; \, b)\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng đó.
b) Nếu \(f'(x)< 0\) với mọi \(x \in(a; \, b)\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng đó.
Lời giải chi tiết:
* Xét hàm số: \(\displaystyle y = - {x^3} +2{x^2} - x - 7\)
Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)
Ta có: \(\displaystyle y' = - 3{x^2} + 4x - 1 \Rightarrow y' = 0\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)
Hàm số đồng biến \(\displaystyle \Leftrightarrow y' > 0\) \( \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 > 0\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 < 0 \\\Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1.
\end{array}\)
Hàm số nghịch biến \(\displaystyle \Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 < 0\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right..
\end{array}\)
Vậy hàm số đồng biến trong \(\displaystyle ({1 \over 3},1)\) và nghịch biến trong \(\displaystyle ( - \infty ,{1 \over 3}) \) và \(\displaystyle (1, + \infty ).\)
LG b
\(\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}}\)
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \(\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}} = \dfrac{x-5}{-x+1}\)
Tập xác định: \(\displaystyle D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \)
Ta có: \(\displaystyle y' = \dfrac{1.1-5.1}{(1-x)^2}= {{ - 4} \over {{{(1 - x)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)
Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \(\displaystyle (-∞,1)\) và \(\displaystyle (1, +∞)\).
