Giải bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

LG a

\(\displaystyle y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\)

Phương pháp giải:

B1: Tính đạo hàm \(y'\)

B2: Tìm nghiệm của phương trình \(y'=0 \), các giá trị của x mà tại đó hàm số k xác định

B3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

Biết rằng

a) Nếu \(f'(x)> 0\) với mọi \(x \in(a; \, b)\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng đó.

b) Nếu \(f'(x)< 0\) với mọi \(x \in(a; \, b)\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng đó.

Lời giải chi tiết:

* Xét hàm số: \(\displaystyle y = - {x^3} +2{x^2} - x - 7\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

Ta có: \(\displaystyle y' = - 3{x^2} + 4x - 1 \Rightarrow y' = 0\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Hàm số đồng biến \(\displaystyle \Leftrightarrow y' > 0\) \( \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 > 0\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 < 0 \\\Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1.
\end{array}\)

Hàm số nghịch biến \(\displaystyle \Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 < 0\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy hàm số đồng biến trong \(\displaystyle ({1 \over 3},1)\) và nghịch biến trong \(\displaystyle ( - \infty ,{1 \over 3}) \) và \(\displaystyle (1, + \infty ).\)

LG b

\(\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}}\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}} = \dfrac{x-5}{-x+1}\)

Tập xác định: \(\displaystyle D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \)

Ta có: \(\displaystyle y' = \dfrac{1.1-5.1}{(1-x)^2}= {{ - 4} \over {{{(1 - x)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)

Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \(\displaystyle (-∞,1)\) và \(\displaystyle (1, +∞)\).