Đề bài
Câu 1: Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)\). Cosin của góc \(\widehat {BAC}\) là
A. \(\dfrac{9}{{2\sqrt {35} }}\). B. \(\dfrac{9}{{\sqrt {35} }}\).
C. \( - \dfrac{9}{{2\sqrt {35} }}\). D. \( - \dfrac{9}{{\sqrt {35} }}\).
Câu 2: Tọa độ của vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với hai vecto \(\overrightarrow a = (2; - 1;2),\overrightarrow b = (3; - 2;1)\) là
A. \(\overrightarrow n = \left( {3;4;1} \right)\).
B. \(\overrightarrow n = \left( {3;4; - 1} \right)\).
C. \(\overrightarrow n = \left( { - 3;4; - 1} \right)\).
D. \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4; - 1} \right)\).
Câu 3: Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2;\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5,\) góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng \(\frac{{2\pi }}{3}\), \(\overrightarrow u = k\overrightarrow a - \overrightarrow b ;\,\overrightarrow v = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b .\) Để \(\overrightarrow u \) vuông góc với \(\overrightarrow v \) thì \(k\) bằng
A. \( - \dfrac{6}{{45}}.\) B. \(\dfrac{{45}}{6}.\)
C. \(\dfrac{6}{{45}}.\) D. \( - \dfrac{{45}}{6}.\)
Câu 4: Cho \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right),\overrightarrow v = \left( {m;3; - 1} \right),\overrightarrow {\rm{w}} = \left( {1;2;1} \right)\). Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
A. \(\dfrac{3}{8}\). B. \( - \dfrac{3}{8}\).
C. \(\dfrac{8}{3}\). D. \( - \dfrac{8}{3}\).
Câu 5: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;{{\log }_3}5;m} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( {3;{{\log }_5}3;4} \right)\). Với giá trị nào của m thì \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \)
A. \(m = 1;m = - 1\). B. \(m = 1\).
C. \(m = - 1\). D. \(m = 2;m = - 2\).
Câu 6: Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(2;5;3),B(3;7;4),C(x;y;6)\). Giá trị của \(x,y\) để ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng là
A. \(x = 5;y = 11\).
B. \(x = - 5;y = 11\).
C. \(x = - 11;y = - 5\).
D. \(x = 11;y = 5\).
Câu 7: Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1)\). Tam giác \(ABC\) là
A. tam giác vuông tại \(A\) .
B. tam giác cân tại \(A\).
C. tam giác vuông cân tại \(A\).
D. Tam giác đều.
Câu 8: Trong không gian \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1)\). Tam giác \(ABC\) có diện tích bằng
A. \(\sqrt 6 \). B. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).
C. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\). D. \(\dfrac{1}{2}\).
Câu 9: Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là\(\left( {1;1;1} \right),\,\left( {2;3;4} \right),\,\left( {7;7;5} \right)\). Diện tích của hình bình hành đó bằng
A. \(2\sqrt {83} \). B. \(\sqrt {83} \).
C. \(83\). D. \(\dfrac{{\sqrt {83} }}{2}\).
Câu 10: Cho 3 vecto \(\overrightarrow a = \left( {1;2;1} \right);\)\(\overrightarrow b = \left( { - 1;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {x;3x;x + 2} \right)\) . Tìm \(x\) để 3 vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng
A.\(2.\) B.\( - 1.\)
C. \( - 2.\) D. \(1.\)
Câu 11: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
A.\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.\)
B. \({x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0.\)
C. \(2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} - 1.\)
Câu 12: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?
A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.\)
B. \(2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1.\)
C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 1 = 0.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 1 - 4x.\)
Câu 13: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.\)
C. \({\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x.\)
Câu 14: Cho các phương trình sau: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1;\) \({x^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4;\)
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 = 0;\) \({\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + 4{z^2} = 16.\)
Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 15: Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9\) có tâm là:
A. \(I\left( {1; - 2;0} \right).\) B. \(I\left( { - 1;2;0} \right).\)
C. \(I\left( {1;2;0} \right).\) D. \(I\left( { - 1; - 2;0} \right).\)
Câu 16: Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - z = 0\). Tìm khẳng định đúng trong các mệnh đề sau:
A. \(\left( \alpha \right)//Ox\). B. \(\left( \alpha \right)//\left( {xOz} \right)\).
C. \(\left( \alpha \right)//Oy\). D. \(\left( \alpha \right) \supset Oy\).
Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\). Mặt phẳng (P) là \( - x + 3z - 2 = 0\) có phương trình song song với:
A. Trục Oy. B. Trục Oz.
C. Mặt phẳng Oxy. D. Trục Ox.
Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng (P) có phương trình \(3x + 2y - z + 1 = 0\). Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:
A. \(\overrightarrow n (3;2;1)\). B. \(\overrightarrow n ( - 2;3;1)\).
C. \(\overrightarrow n (3;2; - 1)\). D. \(\overrightarrow n (3; - 2; - 1)\).
Câu 19: Trong không gian \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289.\), tọa độ giao điểm M của đường thẳng \(Oxyz\) và mặt phẳng \(d:\dfrac{{x + 5}}{2} = \dfrac{{y - 7}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}\) là
A.\(\left( S \right)\). B.\(M(4;1;6)\).
C.\(AB = 6\) . D.\(\left( S \right)\) .
Câu 20: Trong không gian \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 18.\), cho mặt phẳng \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 9.\): \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 16.\) và đường thẳng \(d\):\(N( - 5;7;0)\). Với giá trị nào của \(\vec u = (2; - 2;1)\)thì \(\overrightarrow {MN} = ( - 9;6; - 6)\)cắt \(H\)
A.\(\left( S \right)\).
B.\(\left( S \right)\).
C.\({R^2} = M{H^2} + {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 18\) .
D.\(d(M,d) = 3\).
Lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | A | B | D | D | C |
| Câu | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | A | A | C | A | A |
| Câu | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Đáp án | A | B | A | C | A |
| Câu | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Đáp án | D | A | C | A | B |
Câu 3:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\overrightarrow v \\ = \left( {k\overrightarrow a - \overrightarrow b \,} \right)\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) \\= 4k - 50 + \left( {2k - 1} \right)\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \dfrac{{2\pi }}{3}\\ = - 6k - 45\end{array}\)
Câu 4:
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2;m + 2;m + 6} \right),{\rm{ }}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = 3m + 8\)
\(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{8}{3}\)
Câu 6:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {x - 2;y - 5;3} \right)\)
\(A,B,C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{3}{1} \Leftrightarrow x = 5;y = 11\)
Câu 7:
\(\overrightarrow {BA} = \left( {1;0; - 1} \right),\overrightarrow {CA} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 2; - 1;0} \right)\)
\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} = 0 \Rightarrow \)tam giác vuông tại \(A\) , \(AB \ne AC\) .
Câu 8:
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;1} \right)\) . \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Câu 9:
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là \(A,B,C\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;6;4} \right)\)
\({S_{hbh}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{14}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 2\sqrt {83} \)
Câu 10:
\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng thì \(\left[ {\overrightarrow {\overrightarrow a ,b} } \right].\overrightarrow c = 0 \Rightarrow x = 2.\)
Câu 11:
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:
(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);
(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 12:
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là :
(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);
(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Tuy nhiên ở đáp án A thì phương trình: \(2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy - 2x + 1 = 0\) không đúng dạng phương trình mặt cầu.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 13:
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:
(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).
Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Phương trình ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Ví dụ :
C. \({\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{3}{2}.\)
D. \({\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 3 = 0.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 14:
Ta có: \({\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + 4{z^2} = 16\)
\(\Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {z^2} = 4\)
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) là phương trình của một mặt cầu.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 15:
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R.\)
Lựa chọn đáp án A.
Câu 19: \(\left( d \right)\) có VTPT \(M\left( {11;{\rm{ }}0; - 25} \right)\)
\(\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)\) có VTCP \(IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 15\,\,\)
Ta có \(R = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 17\)
Chọn đáp án A.
Câu 20:
Giải hệ \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 18.\).
Vậy chọn đáp án B.
