Video hướng dẫn giải
Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
LG a
a) ∫(1−x)9dx∫(1−x)9dx (đặt u=1−xu=1−x ) ;
Phương pháp giải:
+) Đặt u=u(x)⇒du=u′(x)dx.
+) Khi đó: ⇒I=∫f(x)dx=∫g(u)du.
+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn u.
+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn x.
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt u=1−x⇒du=−dx. Khi đó ta được −∫u9du=−110u10+C
Suy ra ∫(1−x)9dx=−(1−x)1010+C
Cách 2: ∫(1−x)9dx=−∫(1−x)9d(1−x)= −(1−x)1010+C
LG b
b) ∫x(1+x2)32dx (đặt u=1+x2 )
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt u=1+x2⇒du=2xdx⇒xdx=12du.
⇒∫12u32du=12.u32+132+1+C=u525+C=(1+x2)525+C.
Cách 2: ∫x(1+x2)32dx=12∫(1+x2)32d(1+x2)=12.25(1+x2)52+C=15.(1+x2)52+C
LG c
c) ∫cos3xsinxdx (đặt t=cosx)
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Đặt: t=cosx⇒dt=−sinxdx.
⇒∫cos3x.sinxdx=∫−t3du=−14t4+C=−14cos4x+C.
Cách 2: ∫cos3xsinxdx=−∫cos3xd(cosx)=−14.cos4x+C.
LG d
d) ∫dxex+e−x+2 (đặt u=ex+1)
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có: ex+e−x+2=ex+1ex+2=e2x+2ex+1ex=(ex+1)2ex.
⇒1ex+e−x+2=ex(ex+1)2.
Đặt u=ex+1⇒du=exdx.
∫dxex+e−x+2=∫ex(ex+1)2dx =∫duu2=−1u+C=−1ex+1+C
Cách 2:
∫dxex+e−x+2=∫exe2x+2ex+1dx=∫d(ex+1)(ex+1)2dx=−1ex+1+C.
