Video hướng dẫn giải
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).
LG a
a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.
Phương pháp giải:
+ Chứng minh ΔAHB=ΔAHC=ΔAHD và suy ra HB=HC=HD.
+ Sử dụng định lí Pitago tính độ dài đoạn AH.
Lời giải chi tiết:
Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có 6 cạnh đều bằng nhau.
Gọi H là hình chiếu của A trên mp BCD
Xét ba tam giác ABH,ACH và ADH có:
AB=AC=AD ( vì ABCD là tứ diện đều).
AH chung
^AHB=^AHC=^AHD=900
⇒ΔABH=ΔACH=ΔADH ( ch- cgv)
Suy ra, HB=HC=HD .
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Gọi I là trung điểm của CD.
Do ΔBCD đều nên BI=BCsin600=a√32
⇒BH=23BI=a√33;
Do tam giác ABH vuông tại H nên :
AH2=AB2−BH2 =a2−a23=23a2.
Vậy AH=√63a
LG b
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức diện tích xung quanh và thể tích khối trụ: Sxq=2πrh,V=πr2h, trong đó r,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
Lời giải chi tiết:
Vì tam giác BCD đều cạnh a, nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là r=BH=a√33, cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
S=2πrh=2πa√33.√63a=2√23πa2 (đtdt).
Thể tích khối trụ là: V=πr2h=πa23.√63a=√69πa3 (đttt)
