Đề bài
Cho hình lập phương (H)(H). Gọi (H′) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H′).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Bát diện đều là khối đa diện gồm 8 mặt là 8 tam giác đều.
+) Diện tích toàn phần của hình bát diện đều = 8. diện tích 1 mặt.
Lời giải chi tiết
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng a. Khi đó diện tích toàn phần của nó là: S1=6a2
Gọi M là tâm của hình vuông ABCD; Q là tâm hình vuông ADD′A′; P là tâm hình vuông ABB′A′; N là tâm hình vuông BCC′B′; E là tâm hình vuông DCC′D′ và F là tâm hình vuông A′B′C′D′.
Xét bát diện đều thu được, khi đó diện tích toàn phần của nó là 8 lần diện tích tam giác đều MQE (hình vẽ)
Xét tam giác ACD′, ta có M,Q lần lượt là trung điểm của AC và AD′ nên MQ là đường trung bình của tam giác ACD′, do đó MQ=12CD′=a√22
Ta có SMQE=12(a√22)2.√32=√3a28
Diện tích xung quanh của bát diện đều là: S2=8.√3a28=a2√3
Do đó: S1S2=6a2a2√3=2√3
