Đề cương bài tập học kỳ II môn toán lớp 12

130 lượt xem

Bài trước

Bài sau

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Phần 1

Nguyên hàm

Câu 1. Cho $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\int {k.f\left( x \right)dx} = k.\int {f\left( x \right)dx}$ với $k \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

B. $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx}$

C. $\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx}$

D. $\left[ {\int {f\left( x \right)dx} } \right]' = f\left( x \right)$ .

Câu 2. $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = x.{e^{{x^2}}}$ . Hàm số nào sau đây không phải là $F\left( x \right)$ ?

A. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + 2$

B. $F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{{x^2}}} + 5} \right)$

C. $F\left( x \right) = - \frac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C$

D. $F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\left( {2 - {e^{{x^2}}}} \right)$

Câu 3. Cho hai hàm số $F\left( x \right) = \left( {{x^2} + ax + b} \right).{e^{ - x}}$ và $f\left( x \right) = \left( { - {x^2} + 3x + 6} \right).{e^{ - x}}$ . Tìm a và b để $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ .

A. a = 1, b = -7

B. a = - 1, b = - 7

C. a = - 1 , b = 7

D. a = 1, b = 7.

Câu 4. $F\left( x \right) = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right).{e^{ - x}} + 2018e$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} + 7x - 2} \right){e^{ - x}}$ . Khi đó:

A. $a + b + c + d = 4$

B. $a + b + c + d = 5$

C. $a + b + c + d = 6$

D. $a + b + c + d = 7$

Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2}}}$ là:

A. $\int {f\left( x \right)dx} = 3\ln {x^2} + C$

B. $\int {f\left( x \right)dx} = - \frac{3}{x} + C$

C. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{{{x^2}}} + C$

D. $\int {f\left( x \right)dx} = \frac{3}{x} + C$

Câu 6. Hàm số $F\left( x \right) = \tan x + 2$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. $f\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$

B. $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$

C. $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

D. $f\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

Câu 7. Tìm $\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx}$

A. $\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} = \left( {1 - x} \right)\sin x - \cos x + C$

B. $\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} = \left( {1 + x} \right)\sin x - \cos x + C$

C. $\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} = \left( {1 - x} \right)\sin x + \cos x + C$

D. $\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} = \left( {1 - x} \right)\sin x - \sin x + C$

Câu 8. Biết $\int {f\left( x \right)dx} = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C$ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\int {f\left( {3x} \right)dx} = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C$

B. $\int {f\left( {3x} \right)dx} = 6x\ln \left( {3x - 1} \right) + C$

C. $\int {f\left( {3x} \right)dx} = 3x\ln \left( {9x - 1} \right) + C$

D. $\int {f\left( {3x} \right)dx} = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C$

Câu 9. Tìm nguyên hàm $\int {\frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}} dx$

A. ${x^2} + \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x - 2}}} \right| + C$

B. $\frac{1}{2}{x^2} + \ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right| + C$

C. $\frac{1}{2}{x^2} + \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x - 2}}} \right| + C$

D. ${x^2} + \ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right| + C$

Câu 10. Tìm nguyên hàm $\int {\frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx}$

A. $2\ln \left| {x + 1} \right| - \frac{3}{{x + 1}} + C$

B. $2\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{3}{{x + 1}} + C$

C. $- \ln \left| {x + 1} \right| + \frac{3}{{x + 1}} + C$

D. $\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C$ .

Câu 11. Tính $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - x} }}}$ thu được kết quả là:

A. $\frac{C}{{\sqrt {1 - x} }}$

B. $- 2\sqrt {1 - x} + C$

C. $\frac{2}{{\sqrt {1 - x} }} + C$

D. $\sqrt {1 - x} + C$

Câu 12. Cho $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C}$ . Khi đó 3a+b bằng:

A. $- \frac{2}{3}$ B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{4}{3}$ D. $\frac{2}{3}$

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\cos ^2}2x$ là:

A. $\frac{1}{2} + \frac{{\sin 4x}}{8} + C$

B. $\frac{x}{2} - \frac{{\sin 4x}}{2} + C$

C. $\frac{1}{2} - \frac{{\sin 4x}}{2} + C$

D. $\frac{x}{2} + \frac{{\sin 4x}}{8} + C$

Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ là:

A. $\cot x - x + C$

B. $\tan x - x + C$

C. $- \cot x - x + C$

D. $- \tan x - x + C$ .

Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}$ là:

A. $\ln \left| {\cot \frac{x}{2}} \right| + C$

B. $\ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C$

C. $- \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C$

D. $\ln \left| {\sin x} \right| + C$ .

Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x.{x^{{x^2}}}$ là:

A. $\frac{1}{{{2^{{x^2}}}\ln 2}} + C$

B. $\frac{1}{{\ln 2}}{2^{{x^2}}} + C$

C. $\frac{{\ln 2}}{{{2^{{x^2}}}}} + C$

D. ${2^{{x^2}}}\ln 2 + C$ .

Câu 17. Tìm $\int {{e^{{{\sin }^2}x}}\sin 2xdx}$ ?

A. ${e^{{{\sin }^2}x}} + C$

B. $\sin x{e^{\tan x}} + C$

C. ${e^{\tan x}} + C$

D. ${e^{\sin 2x}} + C$

Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x.\sqrt[3]{{3x - 1}}$ là:

A. $\frac{1}{{21}}\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^7}}} + \frac{1}{{15}}\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^5}}} + C$

B. $\frac{1}{{18}}\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^6}}} + \frac{1}{{12}}\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^4}}} + C$

C. $\frac{1}{9}\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{3x - 1}} + C$

D. $\frac{1}{{12}}\sqrt[3]{{{{\left( {3x - 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{3}\sqrt[3]{{3x - 1}} + C$

Câu 19. Tìm $T = \int {\frac{{dx}}{{\cos x.{{\sin }^3}x}}}$

A. $- \ln \left| {\cot x} \right| - \frac{1}{2}{\cot ^2}x + C$

B. $- \ln \left| {\sin x} \right| - \frac{1}{2}\cot x + C$

C. $- \ln \left| {\cot x} \right| + {\cot ^2}x + C$

D. $- \ln \left| {\tan x} \right| - \frac{1}{2}{\cot ^2}x + C$

Câu 20. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}.{e^{{x^3} + 1}}$ là:

A. $\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{4} + C$

B. $2\arccos \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C$

C. $\arccos \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{4} + C$

D. $2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C$

Phần 2

Tích phân

Câu 1. Cho $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = - 1,\int\limits_0^2 {g\left( x \right)dx} = 1$ . Khi đó $\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right) + 1} \right]dx}$ bằng:

A. 1 B. 4 C. 2 D. 0

Câu 2. Biết rằng $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x\cos 2xdx} = \frac{\pi }{a} + \frac{1}{b}$ , với $a,b \in \mathbb{Z}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a + b = 4$

B. $a + b = 3$

C. $a + b = - 1$

D. $a + b = 1$

Câu 3. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} - \frac{1}{{{x^2} + 3x}}$ và thỏa mãn $F\left( 1 \right) + 2F\left( 2 \right) = 2$ . Tính $F\left( 2 \right)$

A. $F\left( 2 \right) = 38$

B. $F\left( 2 \right) = \frac{{86}}{7}$

C. $F\left( 2 \right) = 7$

D. $F\left( 2 \right) = \frac{{151}}{4}$

Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( {3x} \right) = 2f\left( x \right)$ , với $\forall x \in \mathbb{R}$ . Biết rằng $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2$ . Giá trị của tích phân $\int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx}$ bằng:

A. 4 B. 2 C. 6 D. 12

Câu 5. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ . Biết $f'\left( x \right) = f\left( x \right).{e^x}$ và $f\left( 1 \right) = e$ . Tính $J = \int\limits_0^2 {\ln \left[ {f\left( x \right)} \right]dx}$ .

A. $J = {e^2} - 2e + 1$

B. $J = {e^2} - 2e - 1$

C. $J = {e^2} - e + 1$

D. $J = {e^4} - 2e - 1$

Câu 6. Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$ thỏa $f'\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}};f\left( 0 \right) = 1;f\left( 2 \right) = 2$ . Tính $f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right)$ .

A. $2 + 3\ln 2$

B. $1 + 3\ln 2$

C. $3 + 3\ln 2$

D. $4 + 3\ln 2$

Câu 7. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ . Khi đó hiệu số $F\left( - \right) - F\left( 1 \right)$ bằng:

A. $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$

B. $\int\limits_0^1 { - F\left( x \right)dx}$

C. $\int\limits_0^1 {F\left( x \right)dx}$

D. $\int\limits_0^1 { - f\left( x \right)dx}$

Câu 8. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{x^{2018}}\left( {1 + x} \right)dx}$

A. $I = \frac{1}{{2018}} + \frac{1}{{2019}}$

B. $I = \frac{1}{{2020}} + \frac{1}{{2021}}$

C. $I = \frac{1}{{2019}} + \frac{1}{{2020}}$

D. $I = \frac{1}{{2017}} + \frac{1}{{2018}}$

Câu 9. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 1}}{\rm{ khi }}0 \le x \le 1\\2x - 1{\rm{ khi 1}} \le {\rm{x}} \le {\rm{3}}\end{array} \right.$ . Tính tích phân $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$ .

A. $6 + \ln 4$

B. $4 + \ln 4$

C. $6 + \ln 2$

D. $2 + 2\ln 2$

Câu 10. Biết $\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\frac{{x - 5}}{{2x + 2}}dx} = a + \ln b$ , với a, b là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $ab = \frac{8}{{81}}$ B. $a + b = \frac{7}{{24}}$

C. $ab = \frac{9}{8}$ D. $a + b = \frac{3}{{10}}$

Câu 11. Tính tích phân $\int\limits_1^2 {\frac{{ax + 1}}{{{x^2} + 3x + 2}}dx} = \frac{3}{5}\ln \frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln \frac{2}{3}$ . Giá trị của a là:

A. $a = \frac{1}{5}$ B. $a = \frac{2}{5}$

C. $a = \frac{3}{5}$ D. $a = \frac{4}{5}$

Câu 12. Cho $\int\limits_0^1 {\frac{x}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {2x + 1} }}dx} = \frac{{a + b\sqrt 3 }}{9}$ , với a, b là các số thực. Tính tổng $T = a + b$

A. $T = - 10$

B. $T = - 4$

C. $T = 15$

D. $T = 8$

Câu 13. Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {3 + 4{{\sin }^2}x} \right)dx} = \frac{{a\pi }}{b} - \frac{{c\sqrt 3 }}{6}$ , trong đó a, b nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính a+b+c.

A. 8 B. 16 C. 12 D. 14

Câu 14. Cho $F\left( x \right) = \int\limits_0^{{x^2}} {{e^{{t^2}}}dt}$ . Tính $F'\left( 2 \right)$ .

A. $F'\left( 2 \right) = 4{e^4}$

B. $F'\left( 2 \right) = 8{e^{16}}$

C. $F'\left( 2 \right) = 4{e^{16}}$

D. $F'\left( 2 \right) = {e^4}$

Câu 15. Cho hàm số $g\left( x \right) = \int\limits_x^{{x^2}} {\frac{1}{{\ln t}}dt}$ với $x > 0$ . Đạo hàm của $g\left( x \right)$ là:

A. $g'\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{\ln x}}$

B. $g'\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{{\ln x}}$

C. $g'\left( x \right) = \frac{1}{{\ln x}}$

D. $g'\left( x \right) = \ln x$

Câu 16. Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với $I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} - 1} dx}$

A. $\frac{1}{2}\int\limits_1^2 {t\sqrt {t - 1} dt}$

B. $\int\limits_1^4 {t\sqrt {t - 1} dt}$

C. $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {t\sqrt {t - 1} dt}$

D. $\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dt}$

Câu 17. Giả sử $I = \int\limits_1^{64} {\frac{{dx}}{{\sqrt x + \sqrt[3]{x}}}} = a\ln \frac{2}{3} + b$ với a, b là số nguyên. Tính giá trị $a - b$ .

A. $- 17$ B. $5$

C. $- 5$ D. $17$

Câu 18. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}dx}$ .

A. $I = \frac{5}{2}$ B. $I = \frac{3}{2}$

C. $I = \frac{\pi }{3} + \frac{9}{{20}}$ D. $I = \frac{9}{4}$

Câu 19. Cho $I = \int\limits_0^1 {x.{e^{1 - {x^2}}}dx}$ . Biết rằng $I = \frac{{ae - b}}{2}$ . Khi đó $a + b$ bằng:

A. $1$ B. 0 C. 2 D. 4

Câu 20. Biết $\int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x\ln x}}dx} = \ln \left( {\ln a + b} \right)$ với a, b là các số nguyên dương. Tính $P = {a^2} + {b^2} + ab$ .

A. 10 B. 8 C. 12 D. 6

Phần 3

Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích.

Câu 1. Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục Ox và các đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ .

A. $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

B. $\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

C. $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

D. $\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Câu 2. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:

A. $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}$

B. $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}$

C. $- \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}$

D. $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} - \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx}$

Câu 3. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + x - 2$ và trục hoành bằng:

A. 9 B. $\frac{{13}}{6}$ C. $\frac{9}{2}$ D. $\frac{3}{2}$

Câu 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 4$ là:

A. $\frac{{53}}{4}$ B. $\frac{{51}}{4}$

C. $\frac{{49}}{4}$ D. $\frac{{25}}{2}$

Câu 5. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ Ox, Oy ta được $S = a\ln \frac{b}{c} - 1$ . Chọn đáp án đúng?

A. $a + b + c = 8$

B. $a > b$

C. $a - b + c = 1$

D. $a + 2b - 9 = c$

Câu 6. Biết diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3{x^2} + 2mx + {m^2} + 1$ , trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = \sqrt 2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m \in \left( { - 4; - 1} \right)$ B. $m \in \left( {3;5} \right)$

C. $m \in \left( {0;3} \right)$ D. $m \in \left( { - 2;1} \right)$

Câu 7. Cho (H) là hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x ,y = x - 2$ và trục hoành. Diện tích của (H) bằng:

A. $\frac{7}{3}$ B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{{10}}{3}$ D. $\frac{{16}}{3}$

Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng $y = \left\{ \begin{array}{l} - x{\rm{ khi }}x \le 1\\x - 2{\rm{ khi }}x > 1\end{array} \right.$ và $y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}$ là $\frac{a}{b}$ . Khi đó $a + 2b$ bằng:

A. 16 B.15 C. 17 D. 18

Câu 9. Cho (H) là hình phẳng được giới hạn bởi parabol $y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2}$ và đường Elip có phương trình $\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$ . Diện tích của (H) bằng

A. $\frac{{2\pi + \sqrt 3 }}{6}$

B. $\frac{{2\pi }}{3}$

C. $\frac{{\pi + \sqrt 3 }}{4}$

D. $\frac{{3\pi }}{4}$

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $x - {y^3} + 1 = 0,x + y - 1 = 0$ là

A. $\frac{5}{4}$ B. $\frac{1}{3}$

C. $\sqrt 2$ D. Đáp án khác

Câu 11. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^4} - 5{x^2} + 4$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$ .

A. $\frac{7}{3}$ B. $\frac{8}{5}$

C. $\frac{{64}}{{25}}$ D. $\frac{{38}}{{15}}$

Câu 12. Cho D giới hạn bởi các đường cong $y = \sqrt {{x^2} + 1}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0,x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

A. $V = \frac{4}{3}$ B. $V = 2\pi$

C. $V = \frac{{4\pi }}{3}$ D. $V = 2$ .

Câu 13. Cho hình cong (H) giới hạn bởi đường $y = {e^x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0,x = \ln 4$ . Đường thẳng x=k (0< x< ln4) chia (H) thành hai phần có diện tích là ${S_1}$ và ${S_2}$ như hình vẽ bên.

Tìm k để ${S_1} = 2{S_2}$ .

A. $k = \frac{2}{3}\ln 4$

B. $k = \ln 2$

C. $k = \ln \frac{8}{3}$

D. $k = \ln 3$

Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} - 1$ và $y = - {x^2} + 2x + 3$ không được tính bằng công thức nào sau đây?

A. $S = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)dx}$ .

B. $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|dx}$

C. $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|dx}$

D. $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)}$ .

Câu 15. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x ,x = 4$ và trục hoành. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

A. $\frac{{15\pi }}{2}$ B. $\frac{{14\pi }}{3}$

C. $8\pi$ D. $\frac{{16\pi }}{3}$

Phần 4

Số phức

Câu 1. Số phức nào sau đây là số thuần ảo

A. $z = \sqrt 3 + i$

B. $z = - 2$

C. $z = - 2 + 3i$

D. $z = 3i$

Câu 2. Tìm mô đung của số phức $z = - 4i$ :

A. 4 B. - 4 C. $\sqrt 4$ D. ${4^2}$

Câu 3. Cho các điểm A, B, C nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức $1 + 3i, - 2 + 2i,1 - 7i$ . Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Điểm D biểu diễn số phức nào trong các số phức sau đây?

A. $z = 4 + 6i$

B. $z = 2 + 8i$

C. $z = - 2 - 8i$

D. $4 - 6i$

Câu 4. Cho hai số phức ${z_1} = 2 + i,{z_2} = 1 + 3i$ . Phần thực của số phức ${z_1} + {z_2}$ bằng:

A. 1 B. 3 C. 4 D. -2

Câu 5. Tính mô đun của số phức z biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$

A. $\left| z \right| = 5\sqrt 2$

B. $\left| z \right| = \sqrt 2$

C. $\left| z \right| = 25\sqrt 2$

D. $\left| z \right| = 7\sqrt 2$

Câu 6. Cho số phức $z = \frac{{\left( {2 - 3i} \right)\left( {4 - i} \right)}}{{3 + 2i}}$ . Tọa độ điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy.

A. $\left( {1;4} \right)$ B. $\left( { - 1;4} \right)$

C. $\left( { - 1; - 4} \right)$ D. $\left( {1; - 4} \right)$

Câu 7. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn $\left( {3x + yi} \right)\left( {4 - 2i} \right) = 5x + 2i$ với i là đơn vị ảo.

A. $x = 2;y = 4$

B. $x = - 2;y = 0$

C. $x = 2;y = 0$

D. $x = - 2;y = 4$

Câu 8. Có bao nhiêu số phức đồng thời thỏa mãn $\left| z \right| = \sqrt {10}$ đồng thời phần ảo gấp 3 lần phần thực

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 9. Gọi A và B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức $z = 5 + 3i$ và $z' = 3 + 5i$ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. A và B đối xứng nhau qua trục hoành

B. A và B đối xứng nhau qua trục tung

C. A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ

D. A và B đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$

Câu 10. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\frac{{5\left( {\overline z + i} \right)}}{{z + 1}} = 2 - i$ . Mô đung của số phức $\omega = 1 + z + {z^2}$ là

A. $4$ B. 9 C. 13 D. $\sqrt {13}$

Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn $\left| {z - 1} \right| = 2$ . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số phức ${\rm{w}} = \left( {1 + i\sqrt 3 } \right)z + 2$ là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. $r = 16$

B. $r = 4$

C. $r = 25$

D. $r = 9$

Câu 12. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn $2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|$ là

A. Một đường thẳng

B. Một đường tròn

C. Một Parabol

D. Một Elip

Câu 13. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn $\left( {\frac{z}{2} - i} \right)\left( {1 - i} \right) = {\left( {1 + i} \right)^{3979}}$ ?

A. Phần thực là ${2^{1990}}$ và phần ảo là 2

B. Phần thực là $- {2^{1990}}$ và phần ảo là 2

C. Phần thực là $- {2^{1989}}$ và phần ảo là 1

D. Phần thực là ${2^{1989}}$ và phần ảo là 1

Câu 14. Phương trình $\left( {2 + i} \right){z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in \mathbb{C}} \right)$ có hai nghiệm là $3 + i$ và $1 - 2i$ . Khi đó a=?

A. $- 9 - 2i$

B. $15 + 5i$

C. $9 + 2i$

D. $15 - 5i$

Câu 15. Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức thuộc phần tô màu như hình vẽ?

A. $1 \le \left| z \right| \le 2$ và phần ảo dương.

B. $1 \le \left| z \right| \le 2$ và phần ảo âm.

C. $1 < \left| z \right| < 2$ và phần ảo dương.

D. $1 < \left| z \right| < 2$ và phần ảo âm.

Phần 5

Hệ trục tọa độ

Câu 1. Cho vecto $\overrightarrow {AO} = 3\left( {\overrightarrow i + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j$ . Tọa độ của điểm A là:

A. (3;-2;5)

B. (-3;-17;2)

C. (3;17;-2)

D. (3;5;-2)

Câu 2. Cho $\overrightarrow m = \left( {1;0; - 1} \right),\overrightarrow n = \left( {0;1;1} \right)$ . Kết luận nào sai?

A. $\overrightarrow m .\overrightarrow n = - 1$

B. $\left[ {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right] = \left( {1; - 1;1} \right)$

C. $\overrightarrow m$ và $\overrightarrow n$ không cùng phương

D. Góc của $\overrightarrow m$ và $\overrightarrow n$ là $60^\circ$

Câu 3. Cho $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ tạo với nhau một góc $\frac{{2\pi }}{3}$ . Biết $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5$ thì $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|$ bằng

A. 6 B. 5 C. 4 D. 7

Câu 4. Cho hai vecto $\overrightarrow a = \left( {1;m; - 1} \right),\overrightarrow b = \left( {2;1;3} \right)$ . $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b$ khi:

A. $m = - 1$

B. $m = 1$

C. $m = 2$

D. $m = - 2$

Câu 5. Cho ba vevto $\overrightarrow a = \left( { - 1;0; - 2} \right)$ , $\overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right)$ , $\overrightarrow c = \left( {4;3;m} \right)$ . Để ba vecto trên đồng phẳng thì m bằng:

A. 14 B. 5 C. -7 D. 7

Câu 6. Cho 3 điểm $M\left( {2;3; - 1} \right),N\left( { - 1;1;1} \right),P\left( {1;m - 1;2} \right)$ . Tìm M để $\Delta MNP$ vuông tại N.

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

Câu 7. Cho điểm $M\left( {3;1; - 2} \right)$ . Điểm N đối xứng với M qua Ox có tọa độ là:

A. $\left( { - 3;1;2} \right)$

B. $\left( { - 3; - 1; - 2} \right)$

C. $\left( {3;1;0} \right)$

D. $\left( {3; - 1;2} \right)$

Câu 8. Cho $A\left( {4;2;6} \right)$ , $B\left( {10; - 2;4} \right),C\left( {4; - 4;0} \right),D\left( { - 2;0;2} \right)$ . Tứ giác ABCD là hình:

A. Bình hành

B. Vuông

C. Chữ nhật

D. Thoi

Câu 9. Cho $\overrightarrow a \left( {3;2;1} \right),\overrightarrow b \left( { - 2;0;1} \right)$ . Độ dài của $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ bằng

A. 1 B. 2 C. 3 D. $\sqrt 2$

Câu 10. Cho ba điểm $A\left( {2; - 1;5} \right)$ , $B\left( {5; - 5;7} \right),M\left( {x;y;1} \right)$ . Tìm x, y để A, B, M thẳng hàng?

A. x = 4,y = 7

B. x = - 4, y = - 7

C. x = 4, y = - 7

D. x = - 4, y = 7

Câu 11. Cho 3 điểm $A\left( {2;5; - 1} \right),B\left( {2;2;3} \right),C\left( { - 3;2;3} \right)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\Delta ABC$ đều.

B. A, B, C không thẳng hàng

C. $\Delta ABC$ vuông

D. $\Delta ABC$ cân tại B.

Câu 12. Cho 4 điểm $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;1;0} \right),C\left( {0;0;1} \right),D\left( {1;1;1} \right)$ . Mệnh đề nào sai?

A. 4 điểm A, B, C, D tạo thàng 1 tứ diện

B. $\Delta ABD$ đều

C. $AB \bot CD$

D. $\Delta BCD$ vuông.

Câu 13. Cho $A\left( {0;2; - 2} \right),B\left( { - 3;1; - 1} \right)$ , $C\left( {4;3;0} \right)$ , $D\left( {1;2;m} \right)$ . Tìm m để A, B, C, D đồng phẳng:

A. $- 5$

B. $- 1$

C. 1

D. 5

Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right),\overrightarrow v = \left( {1;0;m} \right)$ . Tìm m để góc giữa hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ bằng $45^\circ$

A. m=2

B. $m = 2 - \sqrt 6$

C. $m = 2 + \sqrt 6$

D. $m = 2 \pm \sqrt 6$

Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A\left( {1;1; - 6} \right),B\left( {0;0; - 2} \right),$ $C\left( { - 5;1;2} \right),D'\left( {2;1; - 1} \right)$ . Thể tích khối hộp đã cho bằng.

A. 42 B. 19 C. 38 D. 12.

Phần 6

Phương trình mặt phẳng

Câu 1. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):4x - 3y + 1 = 0$ .

A. $\left( {4; - 3;0} \right)$

B. $\left( {4; - 3;1} \right)$

C. $\left( {4; - 3; - 1} \right)$

D. $\left( { - 3;4;0} \right)$

Câu 2. Phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm $M\left( { - 1;2;0} \right)$ và có veto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {4;0; - 5} \right)$ là:

A. $4x - 5y - 4 = 0$

B. $4x - 5z - 4 = 0$

C. $4x - 5y + 4 = 0$

D. $4x - 5z + 4 = 0$

Câu 3. Mặt phẳng song song với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{4},$ ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.$ có một vecto pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow n = \left( { - 5;6; - 7} \right)$

B. $\overrightarrow n = \left( {5 - ;6;7} \right)$

C. $\overrightarrow n = \left( { - 5; - 6;7} \right)$

D. $\overrightarrow n = \left( { - 5;6;7} \right)$

Câu 4. Cho hai điểm $A\left( { - 2;0;1} \right),B\left( {4;2;5} \right)$ . Phương trình mặt phẳng trung trục của AB là:

A. $3x + y + 2z - 10 = 0$

B. $3x + y + 2z + 10 = 0$

C. $3x + y - 2z - 10 = 0$

D. $3x - y + 2z - 10 = 0$

Câu 5. Cho $\left( Q \right):3x - y - 2z + 1 = 0$ , (P) song song với (Q), chứa $A\left( {0;0;1} \right)$ có phương trình là:

A. $3x - y - 2z + 2 = 0$

B. $3x - y - 2z - 2 = 0$

C. $3x - y - 2z + 3 = 0$

D. $3x - y - 2z + + 5 = 0$

Câu 6. Mặt phẳng (P) song song với Oxy và đi qua $A\left( {1; - 2;1} \right)$ có phương trình là

A. $z - 1 = 0$

B. $x - 2y + z = 0$

C. $x - 1 = 0$

D. $y + 2 = 0$

Câu 7. Cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0$ và $\left( \beta \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0$ . Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc cả $\left( \alpha \right),\left( \beta \right)$ là

A. $2x - y + 2z = 0$

B. $2x + y - 2z = 0$

C. $2x + y - 2z + 1 = 0$

D. $2x - y - 2z = 0$

Câu 8. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (Oxy) là

A. $z = 0$

B. $x + y = 0$

C. $x = 0$

D. $y = 0$

Câu 9. Mặt phẳng (P) chứa $A\left( {1; - 2;3} \right)$ , vuông góc với $\left( d \right):\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{3}$ có phương trình là:

A. $2x - y + 3z - 13 = 0$

B. $2x - y + 3z + 13 = 0$

C. $2x - y - 3z - 13 = 0$

D. $2x + y + 3z - 13 = 0$

Câu 10. Mặt phẳng đi qua $D\left( {2;0;0} \right)$ vuông góc với trục Oy có phương trình là:

A. $z = 0$ .

B. $y = 2$

C. $y = 0$

D. $z = 2$

Câu 11. Cho 2 điểm $A\left( { - 1;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right)$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB và song song với trục O có phương trình là

A. $x - z + 1 = 0$

B. $x - z - 1 = 0$

C. $x + y - z + 1 = 0$

D. $y - z + 1 = 0$

Câu 12. Mặt phẳng (P) chứa Oz và đi qua $A\left( {1;2;3} \right)$ có phương trình là:

A. $2x - y = 0$

B. $x + y - z = 0$

C. $x - y + 1 = 0$

D. $x - 2y + z = 0$

Câu 13. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng $\left( Q \right):3x + 4y - 1 = 0$ . Mặt phẳng (P) song song với (Q) và cách gốc tọa độ một khoảng bằng 1 có phương trình là:

A. $3x + 4y + 5 = 0$ hoặc $3x + 4y - 5 = 0$

B. $3x + 4y + 5 = 0$

C. $3x + 3y - 5 = 0$

D. $4x + 3y + 5 = 0$ hoặc $3x + 4y + 5 = 0$

Câu 14. Mặt phẳng (P) đi qua $M\left( {1;2;2} \right)$ và cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình của (P) là:

A. $2x + y + z - 4 = 0$

B. $2x + y + z - 2 = 0$

C. $2x + 4y + 4z - 9 = 0$

D. $x + 2y + 2z - 9 = 0$

Câu 15. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại A, B, C sao cho $M\left( {1;2;3} \right)$ làm trọng tâm tam giác ABC:

A. $6x + 3y + 2z - 18 = 0$

B. $x + 2y + 3z = 0$

C. $6x - 3y + 2z - 18 = 0$

D. $6x + 3y + 2z + 18 = 0$

Phần 7

Phương trình đường thẳng

Câu 1. Cho đường thẳng d đi qua $M\left( {2;0; - 1} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow a \left( {4; - 6;2} \right)$ . Phương trình tham số của đường thẳng d là:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2t\\y = - 6 - 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.$

Câu 2. Phương trình đường thẳng AB với $A\left( {1;1;2} \right),B\left( {2; - 1;0} \right)$ là:

A. $\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{2}$

B. $\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}$

C. $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}$

D. $\frac{x}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$

Câu 3. Cho đường thẳng d đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x + 3y - 7z + 1 = 0$ . Phương trình tham số của d là:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - 7t\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8t\\y = - 2 + 6t\\z = - 3 - 14t\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 4t\\z = 3 - 7t\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 4t\\y = - 2 + 3t\\z = - 3 - 7t\end{array} \right.$

Câu 4. Cho $A\left( {0;0;1} \right),B\left( { - 1; - 2;0} \right),C\left( {2;1; - 1} \right)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình.

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3} + 5t\\y = - \frac{1}{3} + 4t\\z = 3t\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3} + 5t\\y = - \frac{1}{3} - 4t\\z = 3t\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3} - 5t\\y = - \frac{1}{3} - 4t\\z = - 3t\end{array} \right.$

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3} - 5t\\y = - \frac{1}{3} - 4t\\z = 3t\end{array} \right.$

Câu 5. Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - z - 3 = 0$ và $\left( Q \right):x + y + z - 1 = 0$ . Phương trình chính tắc của đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) là:

A. $\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{1}$

B. $\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{1}$

C. $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$

D. $\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left( {1; - 3;4} \right),B\left( { - 2; - 5; - 7} \right)$ và $C\left( {6; - 3; - 1} \right)$ . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là:

A. $\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$

B. $\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{{ - 11}}$

C. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 8}}{{ - 4}}$

D. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 8}}$

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + my + \left( {{m^2} - 1} \right)z - 7 = 0$ . Tìm m để đường thẳng d song song với (P).

A. $m = - 1$

B. $m = 1$ hoặc $m = - 2$

C. $m = - 2$

D. $m = 2$ hoặc $m = - 1$

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\left( {{\Delta _1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 - t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.$ và $\left( {{\Delta _2}} \right):\frac{{x + 4}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left( {{\Delta _1}} \right)//\left( {{\Delta _2}} \right)$

B. $\left( {{\Delta _1}} \right)$ và $\left( {{\Delta _2}} \right)$ chéo và vuông góc với nhau

C. $\left( {{\Delta _1}} \right)$ cắt và không vuông góc với $\left( {{\Delta _2}} \right)$

D. $\left( {{\Delta _1}} \right)$ cắt và vuông góc với $\left( {{\Delta _2}} \right)$

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {1; - 3;4} \right)$ , đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua M vuông góc với d và song song với (P).

A. $\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$

B. $\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$

C. $\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$

D. $\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{2}$

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right):z - 1 = 0$ và $\left( Q \right):x + y + z - 3 = 0$ . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ . Phương trình của đường thẳng d là:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.$ B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = t\\z = 1\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\z = 1\end{array} \right.$ D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - t\\z = 1 + t\end{array} \right.$

Phần 8

Phương trình mặt cầu

Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.$

B. ${x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0.$

C. $2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1.$

D. ${\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} - 1.$

Câu 2. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?

A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.$

B. $2{x^2} + 2{y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - {z^2} + 2x - 1.$

C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 1 = 0.$

D. ${\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 1 - 4x.$

Câu 3. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu ?

A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.$

B. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.$

C. ${\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6.$

D. ${\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x.$

Câu 4. Cho các phương trình sau: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1;$ ${x^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4;$

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 = 0;$ ${\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + 4{z^2} = 16.$

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 5. Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 9$ có tâm là:

A. $I\left( {1; - 2;0} \right).$

B. $I\left( { - 1;2;0} \right).$

C. $I\left( {1;2;0} \right).$

D. $I\left( { - 1; - 2;0} \right).$

Câu 6. Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0$ có tâm là:

A. $I\left( {8; - 2;0} \right).$ B. $I\left( { - 4;1;0} \right).$

C. $I\left( { - 8;2;0} \right).$ D. $I\left( {4; - 1;0} \right).$

Câu 7. Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 1 = 0$ có tọa độ tâm và bán kính R là:

A. $I\left( {2;0;0} \right),{\rm{ }}R = \sqrt 3 .$

B. $I\left( {2;0;0} \right),{\rm{ }}R = 3.$

C. $I\left( {0;2;0} \right),{\rm{ }}R = \sqrt 3 .$

D. $I\left( { - 2;0;0} \right),{\rm{ }}R = \sqrt 3 .$

Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ , bán kính $R = 3$ là:

A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9.$

B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 3.$

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$

D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9.$

Câu 9. Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 1 - 4x$ có tâm là:

A. $I\left( { - 2;0;0} \right).$ B. $I\left( {4;0;0} \right).$

C. $I\left( { - 4;0;0} \right).$ D. $I\left( {2;0;0} \right).$

Câu 10. Đường kính của mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$ bằng:

A. 4. B. 2. C. 8. D. 16.

Câu 11. Cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\\z = 1\end{array} \right.$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{1}{2}.$

B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{1}{4}.$

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{1}{2}.$

D. ${\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}.$

Câu 12. Cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = {t^'}\\y = 3 - t'\\z = 0\end{array} \right.$ . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là:

A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4.$

B. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$

C. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 2.$

D. ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 4.$

Câu 13. Cho các điểm $A\left( { - 2;4;1} \right)$ và $B\left( {2;0;3} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$ . Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D. Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A. $\frac{{\sqrt {1169} }}{4}.$ B. $\frac{{\sqrt {873} }}{4}.$ C. $\frac{{1169}}{{16}}.$ D. $\frac{{\sqrt {967} }}{2}.$

Câu 14. Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { - \sqrt 6 ; - \sqrt 3 ;\sqrt 2 - 1} \right)$ và tiếp xúc trục Oz là:

A. ${\left( {x + \sqrt 6 } \right)^2} + {\left( {y + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {z - \sqrt 2 + 1} \right)^2} = 9.$

B. ${\left( {x + \sqrt 6 } \right)^2} + {\left( {y + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {z - \sqrt 2 - 1} \right)^2} = 9.$

C. ${\left( {x + \sqrt 6 } \right)^2} + {\left( {y + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {z - \sqrt 2 - 1} \right)^2} = 3.$

D. ${\left( {x + \sqrt 6 } \right)^2} + {\left( {y + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {z - \sqrt 2 + 1} \right)^2} = 3.$

Câu 15. Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {4;6; - 1} \right)$ và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

A. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 26.$

B. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 74.$

C. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 34.$

D. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 104.$

Câu 16. Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {\sqrt 3 ; - \sqrt 3 ;0} \right)$ và cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A. ${\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} + {z^2} = 8.$

B. ${\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + \sqrt 3 } \right)^2} + {z^2} = 9.$

C. ${\left( {x + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} + {z^2} = 9.$

D. ${\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y + \sqrt 3 } \right)^2} + {z^2} = 8.$

Câu 17. Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {3;6; - 4} \right)$ và cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng $6\sqrt 5$ là:

A. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 49.$

B. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 45.$

C. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 36.$

D. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 54.$

Câu 18. Mặt cầu (S) có tâm $I\left( {2;1; - 1} \right)$ và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):

A. $\left( {2;1;1} \right).$ B. $\left( {2;1;0} \right).$

C. $\left( {2;0;0} \right).$ D. $\left( {1;0;0} \right).$

Câu 19. Gọi (S) là mặt cầu có tâm $I\left( {1; - 3;0} \right)$ và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều. Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S):

A. $\left( { - 1; - 3;2\sqrt 3 } \right).$

B. $\left( {3; - 3;2\sqrt 2 } \right).$

C. $\left( {3; - 3; - 2\sqrt 2 } \right).$

D. $\left( {2; - 1;1} \right).$

Câu 20. Cho các điểm $I\left( { - 1;0;0} \right)$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ . Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I và tiếp xúc d là:

A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 5.$

B. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 5.$

C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 10.$

D. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 10.$

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

SGK Toán lớp 12