Video hướng dẫn giải
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
LG a
a) d: {x=−3+2ty=−2+3tz=6+4t và d': {x=5+t′y=−1−4t′z=20+t′ ;
Phương pháp giải:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d'. Gọi →a;→a′ lần lượt là VTCP của d và d', M1∈d,M2∈d′.
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' song song: {→a=k→a′M∈d,M∉d′.
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' cắt nhau là [→a;→a′]≠→0 và [→a;→a′].→M1M2=0.
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' chéo nhau: [→a;→a′].→M1M2≠0.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua M1(−3;−2;6) và có vectơ chỉ phương →u1(2;3;4).
Đường thẳng d′ đi qua M2(5;−1;20) và có vectơ chỉ phương →u2(1;−4;1).
Ta nhận thấy →u1, →u2 không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta có [→u1,→u2]=(|3−441|;|4121|;|213−4|)=(19;2;−11) ; →M1M2=(8;1;14)
Mà [→u1,→u2].→M1M2=(19.8+2−11.14)=0 nên d và d′ cắt nhau.
Cách khác:
Xét hệ phương trình:{−3+2t=5+t′(1)−2+3t=−1−4t′(2)6+4t=20+t′(3)
Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có 2t=6=>t=3, thay vào (1) có t′=−2.
Từ đó d và d′ có điểm chung duy nhất M(3;7;18). Do đó d và d' cắt nhau tại M.
LG b
b) d: {x=1+ty=2+tz=3−t và d': {x=1+2t′y=−1+2t′z=2−2t′.
Lời giải chi tiết:
Ta có : →u1(1;1;−1) là vectơ chỉ phương của d và →u2(2;2;−2) là vectơ chỉ phương của d' .
Ta thấy →u1 và →u2 cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1;2;3)∈d, thay tọa độ điểm M vào phương trình d′ ta được: {1=1+2t′2=−1+2t′3=2−2t′⇔{t′=0t′=32t′=−12(VN)
Vậy M∉d′ nên d và d′ song song.
