Video hướng dẫn giải
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?
LG a
\(f(x) = \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\);
Phương pháp giải:
+) Biến đổi biểu thức cần tính nguyên hàm về dạng cơ bản (chẳng hạn: đa thức)
+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán:
\(\int {{x^n}dx} = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \(x>0\). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:
\(f(x) = \dfrac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}} \\= x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\\ = x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}.\)
\(\Rightarrow ∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx \\ = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{6} + 1}}}}{{\frac{1}{6} + 1}} + \frac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}} + C\\= \dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C.\)
LG b
\( f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{e^{x}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nguyên hàm:
\[\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\]
\[\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\]
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\= \int {\left( {{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x} - {e^{ - x}}} \right)} dx\\= \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\dfrac{2}{e}} \right)}} - \dfrac{{{e^{ - x}}}}{{ - 1}} + C \\= \dfrac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + e^{-x} + C\\= \dfrac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + C.\end{array}\)
LG c
\(f(x) = \dfrac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\);
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)}dx \\= \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx \\ = - \cot x + \tan x + C \\= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + C\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + C \\= \dfrac{{ - \cos 2x}}{{\dfrac{1}{2}\sin 2x}} + C \\= - 2\cot2 x + C.\end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{4}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{4}{\sin ^2}2x\\
\Rightarrow \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\
= \int {\frac{1}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}dx} = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}dx} \\
= 4.\left( { - \frac{{\cot 2x}}{2}} \right) + C\\
= - 2\cot 2x + C
\end{array}\)
Ở đó sử dụng công thức
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = - \frac{{\cot \left( {ax + b} \right)}}{a} + C\)
LG d
\(f(x) = sin5x.cos3x\)
Phương pháp giải:
Công thức phân tích tích thành tổng:
\(\sin a\cos b \)\(= \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin 5x.\cos 3x \\= \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right).\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\= \int {\dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{1}{8}\cos 8x - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ = - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C.\end{array}\)
LG e
\(f(x) = tan^2x\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức:
\(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\)\( \Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\)
Nguyên hàm: \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}\\ = \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {dx} \\= \tan x - x + C.\end{array}\)
LG g
\(f(x) = e^{3-2x}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {e^{3 - 2x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {{e^{3 - 2x}}dx} \\= - \dfrac{1}{2}\int {{e^{3 - 2x}}\left( {3 - 2x} \right)'dx} \\ = - \dfrac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\end{array}\)
LG h
\(f(x) =\dfrac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}\) \( = \dfrac{{1 - 2x + 2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} \) \(= \dfrac{{1 - 2x}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} + \dfrac{{2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{3\left( {1 - 2x} \right)}}.\)
\(\Rightarrow \int \dfrac{dx}{(1+x)(1-2x)}\)\(=\dfrac{1}{3}\int (\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1-2x})dx \)
\( = \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)\)
Đặt \(1 + x = t \Rightarrow dx = dt\)
\( \Rightarrow \int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} = \int {\dfrac{1}{t}dt} \) \( = \ln \left| t \right| + {C_1} = \ln \left| {1 + x} \right| + {C_1}\)
Đặt \(1 - 2x = t \Rightarrow - 2dx = dt\)
\( \Rightarrow \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} = \int {\dfrac{{ - dt}}{t}} \) \( = - \ln \left| t \right| + {C_2} = - \ln \left| {1 - 2x} \right| + {C_2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - 2x} \right|} \right) + C\\ = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\end{array}\)
Vậy \(\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\)
