Giải bài 2 trang 100,101 SGK Giải tích 12

154 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

LG a

$f(x) = \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}$ ;

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức cần tính nguyên hàm về dạng cơ bản (chẳng hạn: đa thức)

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để làm bài toán:

$\int {{x^n}dx} = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện $x>0$ . Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

$f(x) = \dfrac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}} \\= x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\\ = x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}.$

$\Rightarrow ∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx \\ = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{6} + 1}}}}{{\frac{1}{6} + 1}} + \frac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}} + C\\= \dfrac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \dfrac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\dfrac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} +C.$

LG b

$f(x)=\dfrac{2^{x}-1}{e^{x}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm:

$\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$

$\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x} - {e^{ - x}}.\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\= \int {\left( {{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x} - {e^{ - x}}} \right)} dx\\= \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\dfrac{2}{e}} \right)}} - \dfrac{{{e^{ - x}}}}{{ - 1}} + C \\= \dfrac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + e^{-x} + C\\= \dfrac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + C.\end{array}$

LG c

$f(x) = \dfrac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}$ ;

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \\= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)}dx \\= \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx \\ = - \cot x + \tan x + C \\= \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} + C\\ = \dfrac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x.\cos x}} + C \\= \dfrac{{ - \cos 2x}}{{\dfrac{1}{2}\sin 2x}} + C \\= - 2\cot2 x + C.\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = \frac{1}{4}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = \frac{1}{4}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\ = \int {\frac{1}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}dx} = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}dx} \\ = 4.\left( { - \frac{{\cot 2x}}{2}} \right) + C\\ = - 2\cot 2x + C \end{array}$

Ở đó sử dụng công thức

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx} = - \frac{{\cot \left( {ax + b} \right)}}{a} + C$

LG d

$f(x) = sin5x.cos3x$

Phương pháp giải:

Công thức phân tích tích thành tổng:

$\sin a\cos b$ $= \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right)$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin 5x.\cos 3x \\= \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right).\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\= \int {\dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{1}{8}\cos 8x - \dfrac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ = - \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C.\end{array}$

LG e

$f(x) = tan^2x$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

$\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1$ $\Rightarrow {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1$

Nguyên hàm: $\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}\\ = \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {dx} \\= \tan x - x + C.\end{array}$

LG g

$f(x) = e^{3-2x}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\;\;f\left( x \right) = {e^{3 - 2x}}.\\\Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {{e^{3 - 2x}}dx} \\= - \dfrac{1}{2}\int {{e^{3 - 2x}}\left( {3 - 2x} \right)'dx} \\ = - \dfrac{1}{2}{e^{3 - 2x}} + C.\end{array}$

LG h

$f(x) =\dfrac{1}{(1+x)(1-2x)}$ ;

Lời giải chi tiết:

Ta có : $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}$ $= \dfrac{{1 - 2x + 2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}$ $= \dfrac{{1 - 2x}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}} + \dfrac{{2\left( {1 + x} \right)}}{{3\left( {1 + x} \right)\left( {1 - 2x} \right)}}$ $= \dfrac{1}{{3\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{3\left( {1 - 2x} \right)}}.$

$\Rightarrow \int \dfrac{dx}{(1+x)(1-2x)}$ $=\dfrac{1}{3}\int (\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{2}{1-2x})dx$

$= \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)$

Đặt $1 + x = t \Rightarrow dx = dt$

$\Rightarrow \int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} = \int {\dfrac{1}{t}dt}$ $= \ln \left| t \right| + {C_1} = \ln \left| {1 + x} \right| + {C_1}$

Đặt $1 - 2x = t \Rightarrow - 2dx = dt$

$\Rightarrow \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} = \int {\dfrac{{ - dt}}{t}}$ $= - \ln \left| t \right| + {C_2} = - \ln \left| {1 - 2x} \right| + {C_2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx} + \int {\dfrac{2}{{1 - 2x}}dx} } \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\ln \left| {1 + x} \right| - \ln \left| {1 - 2x} \right|} \right) + C\\ = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C\end{array}$

Vậy $\int {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{3}\ln \left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right| + C$

SGK Toán lớp 12