Video hướng dẫn giải
LG a
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
tanx>x (0<x<π2).
Phương pháp giải:
+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số y(x) với 0.
+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số y(x) và khảo sát hàm số y(x) trên các khoảng đề bài đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết:
tanx>x (0<x<π2).
Xét hàm số: y=f(x)=tanx−x với x∈(0; π2).
Ta có: y′=1cos2x−1=1−cos2xcos2x=sin2xcos2x =tan2x>0,∀x∈(0;π2)
Vậy hàm số luôn đồng biến trên (0;π2).
⇒∀ x∈(0;π2)ta cóf(x)>f(0)⇔tanx−x>tan0−0⇔tanx−x>0⇔tanx>x (dpcm).
LG b
tanx>x+x33 (0<x<π2).
Phương pháp giải:
+) Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số y(x) với 0.
+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số y(x) và khảo sát hàm số y(x) trên các khoảng đề bài đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết:
tanx>x+x33 (0<x<π2).
Xét hàm số: y=g(x)=tanx−x−x33 với x∈(0; π2).
Ta có: y′=1cos2x−1−x2=1+tan2x−1−x2=tan2x−x2=(tanx−x)(tanx+x).
Với ∀ x∈(0;π2)⇒tanx>0 nên ta có: tanx+x>0 và tanx−x>0 (theo câu a) ⇒y′>0∀x∈(0;π2)
Vậy hàm số y=g(x) đồng biến trên (0;π2)⇒g(x)>g(0).
⇔tanx−x−x33>tan0−0−0⇔tanx−x−x33>0⇔tanx>x+x33 (dpcm).
