Đề bài
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A′BD) và (B′D′C).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gắn hệ trục tọa độ sao cho A(0;0;0),B(1;0;0);D(0;1;0),A′(0;0;1).
+) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương.
+) Viết phương trình các mặt phẳng (A′BD) và (B′D′C).
+) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A′BD) và (B′D′C).
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1)
Khi đó B′(1;0;1),D′(0;1;1),C(1;1;0).
Phương trình mặt phẳng (A′BD) có dạng: x1+y1+z1=1 ⇔x+y+z−1=0.
→CB′(0;−1;1) ; →CD′(−1;0;1)
Mặt phẳng (B′D′C) qua điểm C và nhận →n=[→CB′,→CD′]=(−1;−1;−1) hay →n=(1;1;1) làm vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (B′D′C) có dạng: x−1+y−1+z=0 ⇔x+y+z−2=0
Vậy:
d(A;(A′BD))=|−1|√1+1+1=1√3d(A;(B′D′C))=|−2|√1+1+1=2√3
