Video hướng dẫn giải
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính tích phân:
LG a
∫π20(x+1)sinxdx
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: b∫audv=uv|ba−b∫avdu.
Đặt {u=x+1dv=sinxdx
Lời giải chi tiết:
Đặt {u=x+1dv=sinxdx ⇒{du=dxv=−cosx
⇒π2∫0(x+1)sinxdx=−(x+1)cosx|π20+π2∫0cosxdx=−(x+1)cosx|π20+sinx|π20
=−(π2+1)cosπ2+(0+1)cos0+sinπ2−sin0
=0+1+1−0=2
LG b
∫e1x2lnxdx
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: b∫audv=uv|ba−b∫avdu.
Đặt {u=lnxdv=x2dx
Lời giải chi tiết:
Đặt {u=lnxdv=x2dx ⇒{du=dxxv=x33
⇒e∫1x2lnxdx=(lnx.x33)|e1−13e∫1x2dx=(lnx.x33)|e1−x39|e1
=lne.e33−ln1.133−(e39−139)=e33−0−e39+19=2e39+19=19(2e3+1)
LG c
∫10ln(1+x)dx;
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: b∫audv=uv|ba−b∫avdu.
Đặt {u=ln(1+x)dv=dx
Lời giải chi tiết:
Đặt {u=ln(1+x)dv=dx⇒{du=dx1+xv=x
⇒1∫0ln(x+1)dx=(x.ln(1+x))|10−1∫0xx+1dx=(x.ln(1+x))|10−1∫0x+1−1x+1dx=(x.ln(1+x))|10−1∫0(1−1x+1)dx=(x.ln(1+x))|10−(x−ln|x+1|)|10
=1.ln(1+1)−0.ln(0+1)−(1−ln|1+1|−0+ln|0+1|)=ln2−1+ln2=2ln2−1
LG d
∫10(x2−2x−1)e−xdx
Phương pháp giải:
Phương pháp tích phân từng phần: b∫audv=uv|ba−b∫avdu.
Đặt {u=x2−2x−1dv=e−xdx
Lời giải chi tiết:
Đặt {u=x2−2x+1dv=e−xdx⇒{du=(2x−2)dxv=−e−x
⇒1∫0(x2−2x−1)e−xdx=−e−x(x2−2x−1)|10+21∫0(x−1)e−xdx=−e−x(x2−2x−1)|10+2I1=2e−1−1+2I1
Đặt {u=x−1dv=e−x⇒{du=dxv=−e−x.
⇒I1=−e−x(x−1)|10+1∫0e−xdx=−e−x(x−1)|10−e−x|10=−1−(e−1−1)=−e−1.
Vậy I=2e−1−1−2e−1=−1.
