Video hướng dẫn giải
Cho hàm số \(y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\) .
LG a
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm của hàm số: \(y'\), chỉ ra \(y' > 0,\forall x \in D.\)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\).
Tập xác định: \(\displaystyle \mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\) ;
Ta có: \(\displaystyle y' = {{{m^2} + 2} \over {{{(2x + m)}^2}}} > 0,\forall x \ne - {m \over 2}\)
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
LG b
b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt2)\).
Phương pháp giải:
Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số theo m. Sau đó thế tọa độ của điểm A vào phương trình đường tiệm cận để tìm m.
Lời giải chi tiết:
Tiệm cận đứng \(\displaystyle ∆\): \(\displaystyle x = - {m \over 2}\).
Vì \(\displaystyle A(-1 ; \sqrt2) ∈ ∆\) \(\displaystyle ⇔- {m \over 2}= -1 ⇔ m = 2\).
LG c
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
Phương pháp giải:
Thay giá trị của m đã cho vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Với \(\displaystyle m = 2\) thì hàm số đã cho có phương trình là: \(\displaystyle y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\).
Tập xác đinh: \(\displaystyle D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {2.2+2 \over {{{(2x + 2)}^2}}}={6 \over {{{(2x + 2)}^2}}} > 0\) \(\forall x \in D\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;-1)\) và \(\displaystyle (-1;+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \)
Tiệm cận đứng là \(\displaystyle x=-1\), tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y=1\)
- Bảng biến thiên
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao \(\displaystyle Ox\) tại điểm \(\displaystyle ({1\over 2};0)\), giao \(\displaystyle Oy\) tại điểm \(\displaystyle (0;{-1\over 2})\).
Đồ thị hàm số nhận điểm \(\displaystyle I(-1;1)\) làm tâm đối xứng.
