Video hướng dẫn giải
Cho hàm số: f(x)=ax2–2(a+1)x+a+2(a≠0)
LG a
a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
Phương pháp giải:
Nhẩm nghiệm, đưa phương trình f(x)=0 về dạng phương trình tích để tìm nghiệm của phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
f(x)=0 ⇔ax2−2(a+1)x+a+2=0
Phương trình trên có A=a;B=−2(a+1),C=a+2 và
A+B+C =a−2(a+1)+a+2 =a−2a−2+a+2=0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=1,x2=CA=a+2a.
LG b
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x)=0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của S và P theo a.
Phương pháp giải:
+) Dựa vào hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình f(x)=0.
+) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
* Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:
S=2a+2a,P=a+2a
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số S=2a+2a=2+2a
- Tập xác định : (−∞;0)∪(0,+∞)
- Sự biến thiên: S′=−2a2<0,∀a∈(−∞;0)∪(0;+∞) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng (−∞;0) và (0;+∞)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang.
lim
Vậy S = 2 là tiệm cận ngang
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} (2 + {2 \over a}) = + \infty \cr & \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} (2 + {2 \over a}) = - \infty \cr}
Vậy a = 0 là tiệm cận đứng.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại a = -1
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \displaystyle P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}
Tập xác định: D = \mathbb R\backslash {\rm{\{ }}0\}
\displaystyle P' = {{ - 2} \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in D
\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S = - \infty ⇒ Tiệm cận đứng: a = 0
\mathop {\lim }\limits_{a \to \pm \infty } S = 1⇒ Tiệm cận ngang: P = 1
Đồ thị hàm số:
Ngoài ra: đồ thị hàm số \displaystyle P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a} có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị \displaystyle S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a} dọc theo trục tung xuống phía dưới 1 đơn vị.
