Video hướng dẫn giải
Cho hàm số: f(x)=ax2–2(a+1)x+a+2(a≠0)
LG a
a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
Phương pháp giải:
Nhẩm nghiệm, đưa phương trình f(x)=0 về dạng phương trình tích để tìm nghiệm của phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
f(x)=0 ⇔ax2−2(a+1)x+a+2=0
Phương trình trên có A=a;B=−2(a+1),C=a+2 và
A+B+C =a−2(a+1)+a+2 =a−2a−2+a+2=0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=1,x2=CA=a+2a.
LG b
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x)=0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của S và P theo a.
Phương pháp giải:
+) Dựa vào hệ thức Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm của phương trình f(x)=0.
+) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số và vẽ đồ thị hàm số qua các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
* Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:
S=2a+2a,P=a+2a
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số S=2a+2a=2+2a
- Tập xác định : (−∞;0)∪(0,+∞)
- Sự biến thiên: S′=−2a2<0,∀a∈(−∞;0)∪(0;+∞) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng (−∞;0) và (0;+∞)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang.
lima→+∞S=lima→+∞(2+2a)=2lima→−∞S=lima→−∞(2+2a)=2
Vậy S=2 là tiệm cận ngang
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
lima→0+S=lima→0+(2+2a)=+∞lima→0−S=lima→0−(2+2a)=−∞
Vậy a=0 là tiệm cận đứng.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại a=−1
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số P=a+2a=1+2a
Tập xác định: D=R∖{0}
P′=−2a2<0,∀a∈D
lima→0−S=−∞⇒ Tiệm cận đứng: a=0
lima→±∞S=1⇒ Tiệm cận ngang: P=1
Đồ thị hàm số:
Ngoài ra: đồ thị hàm số P=a+2a=1+2a có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị S=2a+2a=2+2a dọc theo trục tung xuống phía dưới 1 đơn vị.
