Đề bài
Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (P)là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu (x−1)2+(y+2)2+z2=12theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của (P) là:
A.x−2y+1=0. B.y−2=0.
C.y+1=0. D.y+2=0.
Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Gọi (α) là mặt phẳng chứa trục Oy và cách M một khoảng lớn nhất. Phương trình của (α) là:
A.x+3z=0. B.x+2z=0.
C. x−3z=0. D.x=0.
Câu 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=9, điểm A(0;0;2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C)có diện tích nhỏ nhất ?
A.(P):x+2y+3z−6=0.
B. (P):x+2y+z−2=0.
C.(P):3x+2y+2z−4=0.
D. (P):x−2y+3z−6=0.
Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C (không trùng với gốc tọa độO) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A.(P):x+y+z−3=0.
B.(P):x+y−z+1=0.
C.(P):x−y−z+1=0.
D.(P):x+2y+z−4=0.
Câu 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(0;2;2) đồng thời cắt các tia Ox,Oy lần lượt tại hai điểm M,N (không trùng với gốc tọa độO) sao cho OM=2ON
A.(P):2x+3y−z−4=0.
B.(P):x+2y−z−2=0.
C.(P):x−2y−z+2=0.
D.(P):3x+y+2z−6=0.
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(−2;1;3), C(2;−1;3) và D(0;3;1). Phương trình mặt phẳng (α) đi qua A,B đồng thời cách đều C,D
A.(P1):4x+2y+7z−15=0;(P2):x−5y−z+10=0.
B.(P1):6x−4y+7z−5=0;(P2):3x+y+5z+10=0.
C.(P1):6x−4y+7z−5=0;(P2):2x+3z−5=0.
D. (P1):3x+5y+7z−20=0;(P2):x+3y+3z−10=0.
Câu 7: Cho các điểm I(1;1;−2) và đường thẳng d:{x=−1+ty=3+2tz=2+t. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:
A.(x−1)2+(y−1)2+(z+2)2=3.
B. (x+1)2+(y+1)2+(z−2)2=9.
C. (x−1)2+(y−1)2+(z+2)2=9.
D.(x−1)2+(y−1)2+(z+2)2=36.
Câu 8: Cho điểm I(1;1;−2) đường thẳng d:x+11=y−32=z−21. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
A.(x−1)2+(y−1)2+(z+2)2=24.
B. (x+1)2+(y+1)2+(z−2)2=24.
C. (x−1)2+(y−1)2+(z+2)2=18
D.(x+1)2+(y+1)2+(z−2)2=18.
Câu 9: Cho điểm I(1;1;−2) đường thẳng d:x+11=y−32=z−21. Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho ^IAB=30o là:
A.(x−1)2+(y−1)2+(z+2)2=72.
B. (x+1)2+(y+1)2+(z−2)2=36.
C. (x−1)2+(y−1)2+(z+2)2=66.
D.(x+1)2+(y+1)2+(z−2)2=46.
Câu 10: Phương trình mặt cầu có tâm I(3;√3;−7) và tiếp xúc trục tung là:
A. (x−3)2+(y−√3)2+(z+7)2=61.
B.(x−3)2+(y−√3)2+(z+7)2=58.
C. (x+3)2+(y+√3)2+(z−7)2=58.
D.(x−3)2+(y−√3)2+(z+7)2=12.
Câu 11: Phương trình mặt cầu có tâm I(√5;3;9) và tiếp xúc trục hoành là:
A. (x+√5)2+(y+3)2+(z+9)2=86.
B. (x−√5)2+(y−3)2+(z−9)2=14.
C. (x−√5)2+(y−3)2+(z−9)2=90.
D. (x+√5)2+(y+3)2+(z+9)2=90.
Câu 12: Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là(1;1;1),(2;3;4),(7;7;5). Diện tích của hình bình hành đó bằng
A. 2√83. B. √83.
C. 83. D. √832.
Câu 13: Cho 3 vecto →a=(1;2;1);→b=(−1;1;2) và →c=(x;3x;x+2) . Tìm x để 3 vectơ →a,→b,→c đồng phẳng
A.2. B.−1.
C. −2. D. 1.
Câu 14: Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm A(2;5;1),B(−2;−6;2),C(1;2;−1) và điểm M(m;m;m), để MA2−MB2−MC2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3. B. 4.
C. 2. D. 1.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCDbiết A(−2;2;6),B(−3;1;8),C(−1;0;7),D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH⊥(ABCD). Để khối chóp S.ABCDcó thể tích bằng 272 (đvtt) thì có hai điểm S1,S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I(0;−1;−3). B. I(1;0;3)
C.I(0;1;3). D. I(−1;0;−3).
Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−1;7),B(4;5;−2). Đường thẳng ABcắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm M. Điểm Mchia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
A. 12. B. 2.
C. 13. D. 23.
Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1;−1),B(3;0;1),C(2;−1;3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD=5 và có hai điểm D1(0;y1;0),D2(0;y2;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1+y2 bằng
A. 0. B. 1.
C. 2. D. 3.
Câu 18: Trong không gian BD, cho mặt cầu →A′X=(a2;a2;−b); và mặt phẳng →MX=(−a2;−a2;−b2).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mặt cầu ⇒−(a2)2−(a2)2+b22=0 có tâm ⇒ab=1 bán kính Oxyz.
B. (A′BD)⊥(MBD)⇒A′X⊥MXcắt ⇒→A′X.→MX=0 theo giao tuyến là đường tròn.
C. Mặt phẳng (P):x+2y+2z+4=0 không cắt mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2y−2z−1=0..
D. Khoảng cách từ tâm của M đến (S) bằng d(M,(P)).
Câu 19: Trong không gian B(13;−13;−13), cho mặt cầu d(A,(P))=5≥d(B,(P))=1. có tâm ⇒d(A,(P))≥d(M,(P))≥d(B,(P)). tiếp xúc với mặt phẳng ⇒d(M,(P))min. Mặt cầu Oxyz có bán kính 2x - 2y - z + 9 = 0 bằng:
A.M. B.(S):{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100.
C.(S). D.M.
Câu 20: Trong không gian M\left( { - \dfrac{{29}}{3};\dfrac{{26}}{3}; - \dfrac{7}{3}} \right), cho mặt phẳng M\left( {\dfrac{{11}}{3};\dfrac{{14}}{3}; - \dfrac{{13}}{3}} \right) : (S)và điểm I(3; - 2;1). Phương trình mặt cầu tâm Ivà tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
A.d(I;(P)) = 6 < R.
B.(P).
C.(S).
Lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | D | A | B | A | C |
| Câu | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | D | D | A | A | B |
| Câu | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Đáp án | C | A | A | B | C |
| Câu | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Đáp án | A | A | B | B | A |
Lời giải chi tiết:
Câu 1:
Phương pháp tự luận
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu {(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng (P) đi qua tâm I(1; - 2;0).
Phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz có dạng :Ay + B = 0
Do (P) đi qua tâm I(1; - 2;0)có phương trình dạng: y + 2 = 0.
Phương pháp trắc nghiệm
+) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D.
+) Mặt phẳng (P)đi qua tâm I(1; - 2;0)nên thay tọa độ điểm Ivào các phương trình loại được đáp án B,C.
Câu 2:
Phương pháp tự luận:
+) Gọi H,Klần lượt là hình chiếu vuông góc của Mtrên mặt phẳng(\alpha ) và trục Oy.
Ta có : K(0;2;0)
d(M,(\alpha )) = MH \le MK
Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng(\alpha ) lớn nhất khi mặt phẳng(\alpha )qua K và vuông góc vớiMK.
Phương trình mặt phẳng: x + 3z = 0
Câu 3:
Mặt cầu \left( S \right) có tâm I\left( {1,2,3} \right),R = 3.
Ta có IA < R nên điểm Anằm trong mặt cầu.
Ta có : d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}
Diện tích hình tròn \left( C \right) nhỏ nhất \Leftrightarrow rnhỏ nhất \Leftrightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) lớn nhất.
Do d\left( {I,\left( P \right)} \right) \le IA \Rightarrow \max d\left( {I,\left( P \right)} \right) = IA Khi đó mặt phẳng\left( P \right) đi qua A và nhận \overrightarrow {IA} làm vtpt
\Rightarrow \left( P \right):x + 2y + z - 2 = 0
Câu 4:
Gọi A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right) lần lượt là giao điểm của \left( P \right) với các trục Ox,Oy,Oz
\Rightarrow \left( P \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\left( {a,b,c \ne 0} \right)
Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N \in \left( P \right)}\\{NA = NB}\\{NA = NC}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 1}\\{\left| {a - 1} \right| = \left| {b - 1} \right|}\\{\left| {a - 1} \right| = \left| {c - 1} \right|}\end{array}} \right.
\Leftrightarrow a = b = c = 3 \Rightarrow x + y + z - 3 = 0
Câu 5:
Gọi M\left( {a;0;0} \right),N\left( {0;b;0} \right) lần lượt là giao điểm của \left( P \right) với các tia Ox,Oy\left( {a,b > 0} \right)
Do OM = 2ON \Leftrightarrow a = 2b \Rightarrow \overrightarrow {MN} \left( { - 2b;b;0} \right) = - b\left( {2; - 1;0} \right) .Đặt \overrightarrow u \left( {2; - 1;0} \right)
Gọi \overrightarrow n là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)
Phương trình măt phẳng \left( P \right):x - 2y - z + 2 = 0.
Câu 6:
Trường hợp 1:CD//\left( P \right)
\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 6; - 10; - 14} \right)\, = - 2\left( {3;5;7} \right)
\Rightarrow \left( P \right):3x + 5y + 7z - 20 = 0
Trường hợp 2:\left( P \right) đi qua trung điểm I\left( {1;1;2} \right) của CD
\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {1;3;3} \right)
\Rightarrow \left( P \right):x + 3y + 3z - 10 = 0.
Câu 7:
Đường thẳng d đi qua M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {1;\,2;\,1} \right).
Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18}
\Rightarrow {R^2} = I{H^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = 36.
Vậy phương trình mặt cầu là: {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.
Lựa chọn đáp án D.
Câu 8:
Đường thẳng d đi qua M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {1;\,2;\,1} \right).
Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có : IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} .
\Rightarrow IH = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 6 .
Vậy phương trình mặt cầu là : {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 9:
Đường thẳng d đi qua M\left( { - 1;{\rm{ 3}};2} \right)và có vectơ chỉ phương \overrightarrow u = \left( {1;\,2;\,1} \right).
Gọi H là hình chiếu của I trên D. Ta có: IH = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {18} .
\Rightarrow R = IA = 2\sqrt {18} .
Vậy phương trình mặt cầu là: {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 72.
Lựa chọn đáp án A.
Câu 10: Gọi H là hình chiếu của I\left( {3;\sqrt 3 ; - 7} \right) trên Oy \Rightarrow H\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow R = IH = \sqrt {58}
Vậy phương trình mặt cầu là: {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 58.
Lựa chọn đáp án B.
Câu 11:
Gọi H là hình chiếu của I\left( {\sqrt 5 ;3;9} \right) trên Ox \Rightarrow H\left( {\sqrt 5 ;0;0} \right) \Rightarrow R = IH = \sqrt {90}
Vậy phương trình mặt cầu là: {\left( {x - \sqrt 5 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 9} \right)^2} = 90.
Lựa chọn đáp án C.
Câu 12:
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A,B,C
\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;6;4} \right)
{S_{hbh}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \,= \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{14}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = 2\sqrt {83}
Câu 13:
\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c đồng phẳng thì \left[ {\overrightarrow {\overrightarrow a ,b} } \right].\overrightarrow c = 0 \Rightarrow x = 2.
Câu 14: \overrightarrow {MA} = \left( {2 - m;5 - m;1 - m} \right),\,\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - m; - 6 - m;2 - m} \right),\,\overrightarrow {MC} = \left( {1 - m;2 - m; - 1 - m} \right)
M{A^2} - M{B^2} - M{C^2} \,= - 3{m^2} - 24m - 20 \,= 28 - 3{\left( {m - 4} \right)^2} \le 28
Để M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}đạt giá trị lớn nhất thì m = 4
Câu 15: Ta có \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;1} \right)
\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}
\overrightarrow {DC} = \left( { - 2; - 2;4} \right),\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1;2} \right)
\Rightarrow \overrightarrow {DC} = 2.\overrightarrow {AB}
\Rightarrow ABCD là hình thang và {S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}
Vì {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} \Rightarrow SH = 3\sqrt 3
Lại có H là trung điểm của CD \Rightarrow H\left( {0;1;5} \right)
Gọi S\left( {a;b;c} \right)
\Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( { - a;1 - b;5 - c} \right)
\Rightarrow \overrightarrow {SH} = k\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = k\left( {3;3;3} \right) \,= \left( {3k;3k;3k} \right)
Suy ra 3\sqrt 3 = \sqrt {9{k^2} + 9{k^2} + 9{k^2}} \Rightarrow k = \pm 1
+) Với k = 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( {3;3;3} \right) \,\Rightarrow S\left( { - 3; - 2;2} \right)
+) Với k = - 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) \Rightarrow S\left( {3;4;8} \right)
Suy ra I\left( {0;1;3} \right)
Câu 16:
Đường thẳngABcắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm M \Rightarrow M(0;y;z)
\Rightarrow \overrightarrow {MA} = (2; - 1 - y;7 - z),\,\overrightarrow {MB} = (4;5 - y; - 2 - z)
Từ \overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} ta có hệ \left\{ \begin{array}{l}2 = k.4\\ - 1 - y = k\left( {5 - y} \right)\\7 - z = k\left( { - 2 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow k = \dfrac{1}{2}
Câu 17:
D \in Oy \Rightarrow D(0;y;0)
Ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 2;y - 1;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 2;4} \right)
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 4; - 2} \right)
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 4y + 2 {V_{ABCD}} = 5
\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}\left| { - 4y + 2} \right| = 5 \Leftrightarrow y = - 7;y = 8
\Rightarrow {D_1}\left( {0; - 7;0} \right),\,{D_2}\left( {0;8;0} \right) \Rightarrow {y_1} + {y_2} = 1
Câu 18:
\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right) có tâm \left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{7}{3}} \right) và bán kính \left( {1; - 2;1} \right)
d(M,(P)) = 3 > R = 2 \Rightarrow (P) \cap (S) = \emptyset .
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}. cắt A\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{7}{3}} \right) theo giao tuyến là một đường tròn
Chọn đáp án B.
Câu 19:
(P) tiếp xúc M\left( { - \dfrac{{11}}{3};\dfrac{{14}}{3};\dfrac{{13}}{3}} \right) M\left( {\dfrac{{29}}{3}; - \dfrac{{26}}{3}; - \dfrac{7}{3}} \right)
Chọn đáp án B.
Câu 20:
(S) tiếp xúc (P) \Rightarrow
M \in (d)
Chọn đáp án A.
