Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:
LG a
a) Đi qua \(8\) đỉnh của hình lập phương.
Lời giải chi tiết:
Tâm mặt cầu là giao điểm các đường chéo chính.
Bán kính mặt cầu là \(OA = \displaystyle{1 \over 2}AC’\)
Đường chéo hình vuông cạnh \(a\) là \(AC = a\sqrt 2\)
Xét tam giác vuông \(ACC’\) tại \(C\):
Ta có: \(AC' = \sqrt {A{C^2} + C'{C^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)
Do đó \(AO = \dfrac{1}{2}AC' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy bán kính mặt cầu đi qua \(8\) đỉnh hình lập phương cạnh \(a\) là \(R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
LG b
b) Tiếp xúc với \(12\) cạnh của hình lập phương.
Lời giải chi tiết:
Vì ABCDA'B'C'D' là hình lập phương nên các tứ giác: ABC’D’ , BCD’A’, CDA’B’, DAB’C’, AA’C’C, BB’D’D là các hình chữ nhật bằng nhau.
Xét hình chữ nhật ABC’D’ ta có:
O là trung điểm của AC’ và BD’ \( \Rightarrow OA = OB = OC' = OD'\)
\( \Rightarrow \Delta OAB = \Delta OC'D' \Rightarrow d(O,AB) = d(O,C'D') = \frac{{BC'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Tương tự ta cũng chứng minh được khoảng cách từ O đến các cạnh còn lại là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra tồn tại mặt cầu tâm O, bán kính \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) tiếp xúc với 12 cạnh.
Vậy mặt cầu \((O,\frac{{a\sqrt 2 }}{2})\) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.
LG c
c) Tiếp xúc với \(6\) mặt của hình lập phương.
Lời giải chi tiết:
Tâm mặt cầu tiếp xúc \(6\) mặt của hình lập phương là trung điểm \(I\) của đường nối hai tâm đáy.
Bán kính mặt cầu là \(r= \displaystyle{1 \over 2} AA’ \) \(=\displaystyle{a \over 2}\)
