1. Khái niệm và tính chất
a. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).
Kí hiệu là : ∫baf(x)dx
Vậy ta có :∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)|ba
Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: ∫aaf(x)dx=0
Trường hợp a>b, ta định nghĩa: ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :
∫baf(x)dx=∫baf(t)dt=∫baf(u)du=... (vì đều bằng F(b)−F(a))
b. Tính chất của tích phân
∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx ( với k là hằng số)
∫ba[f(x)±g(x)]dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
∫baf(x)dx=∫caf(x))dx+∫bcf(x)dx (với a<b<c)
2. Phương pháp tinh tích phân
a. Phương pháp đổi biến số
Định lí. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x=φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho \varphi \left( \alpha \right) = a,\varphi \left( \beta \right) = b và a \le \varphi \left( t \right) \le b,\forall t \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]. Khi đó:
\int_a^b f (x)dx = \int_\alpha ^\beta f (\varphi \left( t \right)) \varphi '(t)dt
Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì:
\int_a^b f (x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du
b. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :
\int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b - \int_a^b {u'} (x)v(x)dx
hay \int_a^b u dv = uv|_a^b - \int_a^b v du
3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).
Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : \int_a^b f (x)dx \ge 0
Từ đó ta có:
Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì
\int_a^b g (x)dx \le \int_a^b f (x)dx
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).
Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì
m(b - a) \le \int_a^b f (x)dx \le M(b - a)
