Video hướng dẫn giải
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: {x=2+ty=−3+2tz=1+3t lần lượt trên các mặt phẳng sau:
LG a
a) (Oxy) ;
Phương pháp giải:
Cách 1:
Phương pháp viết phương trình hình chiếu (d′) của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (P):
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P).
- →n(Q)=[→u(d);→n(P)].
- M∈d⇒M∈(Q) (với M là một điểm bất kì).
Bước 2: d′=(P)∩(Q). Viết phương trình đường thẳng (d′).
Cách 2:
Lấy 2 điểm A,B bất kì thuộc d, gọi A′,B′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P). Khi đó (d′) chính là đường thẳng A′B′.
Lời giải chi tiết:
Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc (Oxy) và chứa d.
Khi đó Δ=(P)∩(Oxy) là hình chiếu của d lên (Oxy).
Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z=0; vectơ →k(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của (Oxy).
Ta có: {→n(P)⊥→k→n(P)⊥→ud ⇒→n(P)=[→u,→k]=(2;−1;0) là vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: 2(x−2)−(y+3)+0.(z−1)=0 ⇔2x−y−7=0.
Δ=(P)∩(Oxy) ⇒Δ:{z=02x−y−7=0.
Chọn M0(4;1;0)∈(P)∩(Oxy).
Δ=(P)∩(Oxy) ⇒{→uΔ⊥→n(P)→uΔ⊥→k ⇒→uΔ=[→k,→n(P)]=(1;2;0).
Đường thẳng Δ đi qua M0(4;1;0) và nhận →uΔ=(1;2;0) làm VTCP nên Δ:{x=4+ty=1+2tz=0,t∈R.
Cách khác:
+) t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d
+) t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.
Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).
Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).
⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.
⇒ d’ đi qua M'(2;-3;0) và nhận →M′N′=(1;2;0) là 1 vtcp.
⇒d′:{x=2+ty=−3+2tz=0
LG b
b) (Oyz).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x=0.
Lấy M1(2;−3;1)∈d và M2(0;−7;−5)∈d.
+) Hình chiếu vuông góc của M1 trên (Oyz) là M1'(0;−3;1).
+) Hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oyz) là chính nó.
Đường thẳng ∆ qua M1′,M2 chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oyz).
Ta có: →M′1M2(0;−4;−6) // →v(0;2;3).
Phương trình M′1M2 có dạng: {x=0y=−3+2t,t∈Rz=1+3t.
