Video hướng dẫn giải
LG a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số f(x)=12x4−3x2+32
Phương pháp giải:
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y′
+ Tại các điểm đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số y = f(x)=12x4−3x2+32 (C)
Tập xác định: D=R
* Sự biến thiên:
Ta có: y′=2x3−6x=2x(x2–3)
⇒y′=0⇔[x=0x2=3 ⇔[x=0x=±√3.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−√3) và (0;√3), đồng biến trên khoảng (−√3;0) và (√3;+∞).
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ=32
Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x=−√3 và x=√3; yCT=y(±√3)=−3
- Giới hạn:
lim
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục \displaystyle Oy làm trục đối xứng.
LG b
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \displaystyle (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \displaystyle f’’(x) = 0.
Phương pháp giải:
Giải phương trình \displaystyle f''(x)=0 để tìm \displaystyle x_0. Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \displaystyle (C) theo công thức: \displaystyle y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \displaystyle y’’ = 6x^2– 6
\displaystyle \Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0 ⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.
Có \displaystyle y’(-1) = 4; \, \, y’(1) = -4; \, \, y(± 1) = -1
Tiếp tuyến của \displaystyle (C) tại điểm \displaystyle (-1, -1) là : \displaystyle y = 4(x+1) – 1= 4x+3.
Tiếp tuyến của \displaystyle (C) tại điểm \displaystyle (1, -1) là: \displaystyle y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3.
LG c
c) Biện luận theo tham số \displaystyle m số nghiệm của phương trình: \displaystyle x^4- 6x^2+ 3 = m.
Phương pháp giải:
Đưa phương trình về dạng: \displaystyle {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \frac{m}{2}. Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \displaystyle {x^4} - 6{x^2} + 3 = m \displaystyle \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2} (1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của \displaystyle (C) và đường thẳng d : \displaystyle y = {m \over 2}
Từ đồ thị ta thấy:
\displaystyle \frac{m}{2}<-3\Leftrightarrow m < -6 thì d và (C) không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.
\displaystyle \frac{m}{2}=-3 \Leftrightarrow m = -6 thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.
\displaystyle -3 < \frac{m}{2}<\frac{3}{2} \Leftrightarrow-6 < m < 3 thì d và (C) có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.
\displaystyle \frac{m}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = 3 thì d và (C) có 3 điểm chung nên ( 1) có 3 nghiệm.
\displaystyle \frac{m}{2}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow m > 3 thì d và (C) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.
Vậy:
+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.
+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.
+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm.
+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.
