Video hướng dẫn giải
Tính:
a) ∫30x√1+xdx
b) ∫6411+√x3√xdx
c) ∫20x2e3xdx
d) ∫π0√1+sin2xdx
LG a
a) ∫30x√1+xdx
Phương pháp giải:
+) Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân.
+) Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận.
Lời giải chi tiết:
Đặt t=√1+x , ta được: x=t2−1,dx=2tdt
Khi x=0 thì t=1, khi x=3 thì t=2.
Do đó:
∫30x√1+xdx=∫21t2−1t.2tdt=2∫21(t2−1)dt
=2(t33−t)|21=2(83−2−13+1)=83
LG b
b) ∫6411+√x3√xdx
Lời giải chi tiết:
Ta có:
∫6411+√x3√xdx=∫6411+x12x13dx=∫641(x−13+x16)dx
=(32x23+67x76)|641=187214−3314=183914.
LG c
c) ∫20x2e3xdx
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân.
Lời giải chi tiết:
Đặt {u=x2dv=e3xdx⇒{du=2xdxv=e3x3
⇒I=2∫0x2e3xdx=(x2.e3x3)|20−2∫02xe3x3dx=4e63−232∫0xe3xdx
Xét I1=2∫0xe3xdx
Đặt {u=xdv=e3xdx⇒{du=dxv=e3x3
⇒I1=(x.e3x3)|20−2∫0e3x3dx=2e63−13.e3x3|20=2e63−19(e6−1)=59e6+19⇒I=4e63−23I1=4e63−23(59e6+19)=2627e6−227
Cách trình bày khác:
Ta có:
∫20x2e3xdx=13∫20x2de3x =13x2e3x|20−23∫20xe3xdx =13x2e3x|20−292∫0xd(e3x) =43e6−29(xe3x)|20+227∫20e3xd(3x)
=43e6−49e6+227e3x|20=227(13e6−1)
LG d
d) ∫π0√1+sin2xdx
Phương pháp giải:
Biến đổi thu gọn hàm số dưới dấu tích phân và tính tích phân thu được.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
√1+sin2x =√sin2x+cos2x+2sinxcosx
=√(sinx+cosx)2
=|sinx+cosx|
=√2|sin(x+π4)|
={√2sin(x+π4),x∈[0,3π4]−√2sin(x+π4),x∈[3π4,π]
Do đó:
∫π0√1+sin2xdx
=π∫0√2|sin(x+π4)|dx
=3π4∫0√2|sin(x+π4)|dx +π∫3π4√2|sin(x+π4)|dx
=3π4∫0√2sin(x+π4)dx −π∫3π4√2sin(x+π4)dx
=√2∫3π40sin(x+π4)d(x+π4) −√2∫π3π4sin(x+π4)d(x+π4) =−√2cos(x+π4)|3π40+√2cos(x+π4)|π3π4 =(√2+1)−(1−√2) =2√2