Bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12

152 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính:

a) $\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx$

b) $\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx$

c) $\displaystyle\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx$

d) $\displaystyle\int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx$

LG a

a) $\displaystyle\int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân.

+) Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận.

Lời giải chi tiết:

Đặt $t = \sqrt {1 + x}$ , ta được: $x = t^2- 1, dx = 2t dt$

Khi $x = 0$ thì $t = 1$ , khi $x = 3$ thì $t = 2.$

Do đó:

$\displaystyle \int_0^3 {{x \over {\sqrt {1 + x} }}} dx = \int_1^2 {{{{t^2} - 1} \over t}} .2tdt = 2\int_1^2 {({t^2} - 1)dt}$

$\displaystyle= 2({{{t^3}} \over 3} - t)\left| {_1^2} \right. = 2({8 \over 3} - 2 - {1 \over 3} + 1) = {8 \over 3}$

LG b

b) $\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\displaystyle\int_1^{64} {{{1 + \sqrt x } \over {\root 3 \of x }}} dx = \int_1^{64} {{{1 + {x^{{1 \over 2}}}} \over {{x^{{1 \over 3}}}}}} dx = \int_1^{64} {({x^{{-1 \over 3}}} + {x^{{1 \over 6}}})dx}$
$\displaystyle=({3 \over 2}{x^{{2 \over 3}}} + {6 \over 7}{x^{{7 \over 6}}})\left| {_1^{64}} \right. = \frac{{1872}}{{14}} - \frac{{33}}{{14}}= {{1839} \over {14}}.$

LG c

c) $\int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {{x^2}{e^{3x}}dx} \\ = \left. {\left( {{x^2}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{2x{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx} \end{array}$

Xét ${I_1} = \int\limits_0^2 {x{e^{3x}}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{3x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{{e^{3x}}}}{3}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \left. {\left( {x.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}dx} \\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{e^{3x}}}}{3}} \right|_0^2\\ = \dfrac{{2{e^6}}}{3} - \dfrac{1}{9}\left( {{e^6} - 1} \right)\\ = \dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}\\ \Rightarrow I = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}{I_1}\\ = \dfrac{{4{e^6}}}{3} - \dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{5}{9}{e^6} + \dfrac{1}{9}} \right)\\ = \dfrac{{26}}{{27}}{e^6} - \dfrac{2}{{27}}\end{array}$

Cách trình bày khác:

Ta có:

$\displaystyle \int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx = {1 \over 3}\int_0^2 {{x^2}} d{e^{3x}}$ $\displaystyle = {1 \over 3}{x^2}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. - {2 \over 3}\int_0^2 {x{e^{3x}}} dx$ $=\dfrac{1}{3}\left. {{x^2}{e^{3x}}} \right|_0^2 - \dfrac{2}{9}\int\limits_0^2 {xd\left( {{e^{3x}}} \right)}$ $\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {2 \over 9}(x{e^{3x}})\left| {_0^2} \right. + {2 \over {27}}\int_0^2 {{e^{3x}}} d(3x)$

$\displaystyle = {4 \over 3}{e^6} - {4 \over 9}{e^6} + {2 \over {27}}{e^{3x}}\left| {_0^2} \right. = {2 \over {27}}(13{e^6} - 1)$

LG d

d) $\int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx$

Phương pháp giải:

Biến đổi thu gọn hàm số dưới dấu tích phân và tính tích phân thu được.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\sqrt {1 + \sin 2x}$ $= \sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }$

$= \sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}$

$= |{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + {\mathop{\rm cosx}\nolimits} |$

$\displaystyle = \sqrt 2 |\sin (x + {\pi \over 4})|$

$=\left\{ \matrix{ \sqrt 2 \sin (x + {\pi \over 4}),x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 4}} \right] \hfill \cr - \sqrt 2 \sin (x + {\pi \over 4}),x \in \left[ {{{3\pi } \over 4},\pi } \right] \hfill \cr} \right.$

Do đó:

$\displaystyle \int_0^\pi {\sqrt {1 + \sin 2x} } dx$

$= \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}$

$= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}$ $+ \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi {\sqrt 2 \left| {\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|dx}$

$= \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx}$ $- \int\limits_{\frac{{3\pi }}{4}}^\pi {\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx}$

$\displaystyle = \sqrt 2 \int_0^{{{3\pi } \over 4}} {\sin (x + {\pi \over 4}} )d(x + {\pi \over 4})$ $\displaystyle - \sqrt 2 \int_{{{3\pi } \over 4}}^\pi {\sin (x + {\pi \over 4}} )d(x + {\pi \over 4})$ $\displaystyle = - \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_0^{{{3\pi } \over 4}}} \right. + \sqrt 2 \cos (x + {\pi \over 4})\left| {_{{{3\pi } \over 4}}^\pi } \right.$ $= \left( {\sqrt 2 + 1} \right) - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)$ $= 2\sqrt 2$

SGK Toán lớp 12