Đề bài
Cho hai tích phân \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx,} \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \) , hãy chỉ ra khẳng định đúng:
A. \(\displaystyle \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} > \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)
B. \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} < \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)
C. \(\displaystyle\int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx} = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} \)
D. Không so sánh được
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác.
+) Áp dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân và so sánh.
Lời giải chi tiết
Nếu đặt \(\displaystyle u = {\pi \over 2} - x\) thì \(dx=-du\) và
\(\eqalign{
& \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^2}xdx = \int_{{\pi \over 2}}^0 {{{\sin }^2}} } ({\pi \over 2} - u)( - du) \cr
& = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}} udu = \int_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}} xdx \cr} \)
Chọn đáp án C
Cách khác:
\(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} \) \(= \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)dx} \) \( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2xdx} \) \( = \left. {\dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} \) \(= 0 - 0 = 0 \)
\(\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}xdx} \) \(= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} \)
