Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12

144 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ; 1)$ và $D(-1 ; 1 ; 2)$

LG a

a) Viết phương trình mặt phẳng $(BCD)$ . Suy ra $ABCD$ là một tứ diện.

Phương pháp giải:

a) Mặt phẳng (BCD) đi qua B và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]$ là 1 VTPT.

- Chứng minh điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD), từ đó suy ra ABCD là tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {BC} = (-3; 0; 1)$ , $\overrightarrow {BD} = (-4; -1; 2)$

Gọi $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của mp $(BCD)$ thì:

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)$

Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $B$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = (1; 2; 3)$ có phương trình:

$1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0$

Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình của mp $(BCD)$ , ta có:

$3 + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14 ≠ 0$

Vậy $A ∉ (BCD)$ $\Rightarrow$ bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Vậy ABCD là một tứ diện.

LG b

b) Viết phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(BCD)$ .

Phương pháp giải:

b) Mặt cầu tâm $A$ , tiếp xúc với mp $(BCD)$ có bán kính bằng khoảng cách từ $A$ đến mp $(BCD)$

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm $A$ , tiếp xúc với mp $(BCD)$ có bán kính bằng khoảng cách từ $A$ đến mp $(BCD)$ : $r = d (A,(BCD))$ = ${{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14}$

Phương trình mặt cầu cần tìm: $(S): (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14$

LG c

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của $(S)$ và mặt phẳng $(BCD)$ .

Phương pháp giải:

c) H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (BCD).

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD.

- Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (BCD). Khi đó giao điểm trên chính là điểm H cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là tiếp điểm của (S) với mp(BCD). Khi đó $AH \bot \left( {BCD} \right)$

$AH$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow {{n_{\left( {BCD} \right)}}} = \left( {1;2;3} \right)$ làm VTCP nên AH: $\left\{ \matrix{x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 2t \hfill \cr z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.$

Gọi $H = d \cap \left( {BCD} \right)$ $\Rightarrow H\left( {3 + t; - 2 + 2t; - 2 + 3t} \right)$

Thay tọa độ điểm H vào phương trình của $(BCD)$ , ta có:

$(3 + t) + 2(-2 + 2t) + 3(-2 + 3t) - 7 = 0$ $\Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {4;0;1} \right)$

SGK Toán lớp 12