Video hướng dẫn giải
Trong hệ toạ độ OxyzOxyz, cho bốn điểm A(−2;6;3),B(1;0;6),C(0;2;−1),D(1;4;0)A(−2;6;3),B(1;0;6),C(0;2;−1),D(1;4;0)
LG a
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD)(BCD). Suy ra ABCDABCD là một tứ diện.
Phương pháp giải:
Mặt phẳng (BCD)(BCD) đi qua BB và nhận →a=[→BC;→BD]→a=[−−→BC;−−→BD] là 1 VTPT. Chứng minh ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh A∉(BCD)A∉(BCD)
Lời giải chi tiết:
Ta có: →BC=(−1;2;−7)−−→BC=(−1;2;−7), →BD=(0;4;−6)−−→BD=(0;4;−6)
Xét vectơ →a=[→BC,→BD]→a=[−−→BC,−−→BD] ⇒→a=(16;−6;−4)=2(8;−3;−2)⇒→a=(16;−6;−4)=2(8;−3;−2)
Mặt phẳng (BCD)(BCD) đi qua BB và nhận →a′=(8;−3;−2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
8(x−1)−3y−2(z−6)=0 ⇔8x−3y−2z+4=0
Thay toạ độ của A vào phương trình của (BC) ta có:
8.(−2)−3.6−2.3+4=−36≠0
Điều này chứng tỏ điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) hay bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng, và ABCD là một tứ diện.
LG b
b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD
Phương pháp giải:
AH=d(A;(BCD))
Lời giải chi tiết:
Chiều cao AH của tứ diện chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD):
AH=d(A,(BCD)) = |8.(−2)−3.6−2.3+4|√82+(−3)2+(−2)2=36√77
LG c
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song với CD.
Phương pháp giải:
→n(α)=[→AB;→CD] là 1 VTPT của mặt phẳng (α) và (α) đi qua A.
Lời giải chi tiết:
Ta có: →AB=(3;−6;3), →CD=(1;2;1)
Mặt phẳng (α) chứa AB và CD chính là mặt phẳng đi qua A(−2;6;3) và nhận cặp vectơ →AB, →CD làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến →n=[→AB,→CD]
Ta có: →AB=(3;−6;3);→CD=(1;2;1)
⇒→n = (−12;0;12)=−12(1;0;−1)
Vậy phương trình của (α) là:
1(x+2)+0(y−6)−1(z−3)=0⇔x−z+5=0
