Video hướng dẫn giải
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}4{a^{2}}\left( {a > 0} \right)\).
LG a
Tính diện tích mặt cầu \((S)\) và thể tích của khối cầu tương ứng.
Phương pháp giải:
Xác định tâm và bán kính \(R\) của mặt cầu, sử dụng các công thức tính diện tích và thể tích khối cầu: \(S = 4\pi {R^2};\,\,V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu \((S)\) có tâm là gốc toạ độ \(O\) và bán kính \(R = 2a\) nên có
\(S = 16πa^2\) ; \(V ={{32\pi {a^2}} \over 3}\)
LG b
Mặt cầu \((S)\) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) theo đường tròn \((C)\). Xác định tâm và bán kính của \((C)\).
Phương pháp giải:
Phương trình đường tròn \((C)\), giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \(Oxy\) là:\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2} \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right.\). Suy ra tâm và bán kính của đường tròn đó.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường tròn \((C)\), giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \(Oxy\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2}\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4{a^2}\\z = 0\end{array} \right.\)
Từ đây suy ra mặt phẳng \(z = 0\) cắt mặt cầu theo đường tròn \((C)\) có tâm là gốc toạ độ \(O\) và bán kính là \(2a\).
LG c
Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận \((C)\) làm đáy và có chiều cao là \(a\sqrt3\). Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh;\,\,V = \pi {r^2}h\), trong đó \(r;h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
Lời giải chi tiết:
Hình trụ có đáy là đường tròn \((C)\) và chiều cao \(a\sqrt3\) có:
\(S_{xq} = 2π.(2a).a\sqrt3\) \( \Rightarrow S_{xq}= 4πa^2\sqrt3\)
\(V = π(2a)^2.a\sqrt3\) \( \Rightarrow V = 4πa^3\sqrt3\)
