Các dạng toán về phương trình đường thẳng
1. Kiến thức cần nhớ
- Phương trình tham số của đường thẳng: {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R)
ở đó M(x0;y0;z0) là điểm thuộc dường thẳng và →u=(a;b;c) là VTCP của đường thẳng.
- Phương trình chính tắc của đường thẳng: x−x0a=y−y0b=z−z0c(a,b,c≠0)
ở đó M(x0;y0;z0) là điểm thuộc dường thẳng và →u=(a;b;c) là VTCP của đường thẳng.
- Đườngthẳng Ox:{x=ty=0z=0(t∈R); Oy:{x=0y=tz=0(t∈R); Oz:{x=0y=0z=t(t∈R)
- Đường thẳng AB có →uAB=→AB
- Đường thẳng d1//d2⇒→u1=→u2
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết các yếu tố trong phương trình đường thẳng.
Phương pháp:
Sử dụng các lý thuyết về phương trình đường thẳng để tìm điểm đi qua, VTCP,…
Dạng 2: Chuyển đổi các dạng phương trình chính tắc và tham số.
Phương pháp:
- Bước 1: Tìm điểm đi qua và VTCP của đường thẳng trong phương trình đã cho.
- Bước 2: Viết phương trình dạng chính tắc, tham số dựa vào hai yếu tố vừa xác định được ở trên.
Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có VTCP →u=(a;b;c) thì có:
+ Phương trình chính tắc: x−x0a=y−y0b=z−z0c(a,b,c≠0)
+ Phương trình tham số: {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R)
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng.
Phương pháp chung:
- Bước 1: Tìm điểm đi qua A.
- Bước 2: Tìm VTCP →u của đường thẳng.
- Bước 3: Viết phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thẳng biết hai yếu tố trên.
+) Đi qua hai điểm.
Đường thẳng AB đi qua A và nhận →AB làm VTCP.
+) Đi qua một điểm và song song với một đường thẳng.
Đường thẳng d qua A và song song với d′ thì d có VTCP →ud=→ud′
+) Đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng.
Đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1,d2 thì d có VTCP →u=[→u1,→u2]
3. Khoảng cách và góc
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′
d(A,d′)=SANN′M′AN=|[→AM′,→u′]||→u′|
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng:
d(Δ,Δ′)=|[→u,→u′].→MM′||[→u,→u′]|
c) Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là: →u,→u′:
cosφ=|cos(→u,→u′)|=|→u.→u′||→u|.|→u′|
