Giải bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục \(Ox\):

LG a

a) \(y = 1 - x^2\), \(y = 0\);

Phương pháp giải:

Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right);y = g\left( x \right) \, \) và hai đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, \, \, (a<b).\) Khi quay hình phẳng trên quanh trục \(Ox\) ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(1 - x^2= 0 ⇔ x = ±1\).

Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

\(V=\pi \int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{2}dx\)

\(=2\pi \int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx\)

\(=2\pi \left (\dfrac{x^{5}}{5}- \dfrac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}\) \(=2\pi\left ( \dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}+1 \right )=\dfrac{16\pi}{15}.\)

LG b

b) \(y = \cos x, y = 0, x = 0, x = π\);

Lời giải chi tiết:

Thể tích cần tìm là:

\(V= \pi \int_{0}^{\pi }\cos^{2}xdx \) \(=\dfrac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+\cos 2x)dx\)

\(=\dfrac{\pi }{2}\left (x+\dfrac{1}{2}\sin 2x \right )|_{0}^{\pi }=\dfrac{\pi }{2}.\pi =\dfrac{\pi ^{2}}{2}\)

LG c

c) \(y = \tan x, y = 0, x = 0\), \(x=\dfrac{\pi }{4}\);

Lời giải chi tiết:

Thể tích cần tìm là:

\(V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\tan^{2}xdx\) \(=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }\left (\dfrac{1}{\cos^{2}x}-1 \right )dx\)

\(=\pi \left (\tan x-x \right )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\pi (1-\dfrac{\pi }{4})\)

\(=\dfrac{\pi(4-\pi)}{4}\).