Video hướng dẫn giải
Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:
LG a
Đổi biến số: \(u = 1 - x\);
Phương pháp giải:
Đổi biến \(x\) thành \(u\) bằng cách: Đặt \(u = 1 - x\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(u = 1 - x \)
\(\Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {x{{\left( {1 - x} \right)}^5}dx} = - \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){u^5}du} \\= \int\limits_0^1 {\left( {{u^5} - {u^6}} \right)du} = \left. {\left( {\dfrac{{{u^6}}}{6} - \dfrac{{{u^7}}}{7}} \right)} \right|_0^1 \\= \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{{42}}\end{array}\)
LG b
Tính tích phân từng phần.
Phương pháp giải:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {\left( {1 - x} \right)^5}dx\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {\left( {1 - x} \right)^5}dx\end{array} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^6}}}{6}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {x\left( {1 - x} \right)^5}dx = - x\left. {\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^6}}}{6}} \right|_0^1 + \dfrac{1}{6}\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - x} \right)}^6}dx} \\= - \dfrac{1}{6}\left. {\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^7}}}{7}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{42}}
\end{array}\)
