Đề bài
Hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và có \(SA = a, AB = b, AC = c\). Mặt cầu đi qua các đỉnh \(A, B, C, S\) có bán kính \(r\) bằng:
(A) \({{2(a + b + c)} \over 3}\) ; (B) 2\(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
(C) \({1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) ; (D) \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.
Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Lời giải chi tiết
Tâm \(I\) của mặt cầu đi qua \(A,B,C,S\) là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và mặt phẳng trung trực của \(SA\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên trục đường tròn \(Mx\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Bán kính mặt cầu \(R=IA\)
\(MI={1 \over 2} SA = {a\over 2}\), \(AM={1\over 2} BC={1\over 2} \sqrt{b^2+c^2}\)
Xét tam giác vuông \(IAM\) có: \(R = IA = \sqrt {I{M^2} + A{M^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Chọn (C).
