Đề bài
Nêu định nghĩa và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải chi tiết
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b], hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x).
Kí hiệu là : ∫baf(x)dx
Vậy ta có :∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)|ba
2. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
Định lí. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Giả sử hàm số x=φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a,φ(β)=b và a≤φ(t)≤b,∀t∈[α;β]. Khi đó:
∫baf(x)dx=∫βαf(φ(t))φ′(t)dt
b) Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì
∫bau(x)v′(x)dx=[u(x)v(x)]|ba−∫bau′(x)v(x)dx
hay ∫baudv=uv|ba−∫bavdu
