Video hướng dẫn giải
Giải các bất phương trình lôgarit:
LG a
a) \({\log_8}\left( {4 - {\rm{ }}2x} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}2\);
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
Giải phương trình logarit cơ bản: \({\log _a}x \ge b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x \ge {a^b}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\0 < x \le {a^b}\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(4 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 2\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _8}\left( {4 - 2x} \right) \ge 2\\\Leftrightarrow 4 - 2x \ge 8^2=64 \,\,(Do \,8>1)\\\Leftrightarrow 2x \le - 60\\\Leftrightarrow x \le - 30\end{array}\).
Kết hợp điều kiện \(x<2\) ta có \(x \le -30\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;-30} \right]\)
LG b
b) \({\log_\frac{1}{5}}(3x - 5)\) > \({\log_\frac{1}{5}}(x +1)\);
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
Giải phương trình logarit cơ bản: \({\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f\left( x \right) > g\left( x \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f\left( x \right) < g\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
ĐK:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5 > 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{5}{3}\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{5}{3}\)
\(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)\\\Leftrightarrow 3x - 5 < x + 1\,\, (Do\, \dfrac{1}{5}<1)\\\Leftrightarrow 2x < 6\\\Leftrightarrow x < 3\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta có: \(\dfrac{5}{3} <x<3\).
LG c
c) \({\log_{0,2}}x{\rm{ }}-{\rm{ }}{\log_5}\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}{\log_{0,2}}3\);
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
Đưa về cùng logarit cơ số 0,2, sử dụng công thức cộng các logarit cùng cơ số: \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Đưa về bất phương trình logarit cơ bản:
\({\log _a}f\left( x \right) < {\log _a}g\left( x \right) \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < f\left( x \right) < g\left( x \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f\left( x \right) > g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 2\). Chú ý rằng
\(\log_5(x- 2) = log_{\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}}(x- 2) \) \(= -\log_{0,2}(x- 2)\)
Nên bất phương trình đã cho tương đương với
\({\log_{0,2}}x{\rm{ }} + {\log_{0,2}}\left( {x - {\rm{ }}2} \right) < {\rm{ }}{\log_{0,2}}3\)
\(⇔{\log_{0,2}}x\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}{\log_{0,2}}3 \)
\(\Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}3\)
\(⇔ x^2- 2x – 3 > 0 \)
\(⇔ (x - 3) (x+ 1) > 0\)
\(⇔ x - 3 > 0 ⇔ x > 3\) (do \(x > 2\)).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( S = \left( 3; +\infty \right) \).
Cách khác:
Có thể đưa về cùng cơ số 5 như sau:
Điều kiện: \(x>2\)
\(\begin{array}{l}
{\log _{0,2}}x - {\log _5}(x - 2) < {\log _{0,2}}3\\
\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{5}}}x - {\log _5}(x - 2) < {\log _{\frac{1}{5}}}3\\
\Leftrightarrow {\log _{{5^{ - 1}}}}x - {\log _5}(x - 2) < {\log _{{5^{ - 1}}}}3\\
\Leftrightarrow - {\log _5}x - {\log _5}(x - 2) < - {\log _5}3\\
\Leftrightarrow {\log _5}x + {\log _5}(x - 2) > {\log _5}3\\
\Leftrightarrow {\log _5}\left[ {x(x - 2)} \right] > {\log _5}3\\
\Leftrightarrow x(x - 2) > 3\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 3\\
x < - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện xác định được \(x > 3.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \((3; +∞).\)
LG d
d) \(\log_{3}^{2}x - 5\log_3 x + 6 ≤ 0\).
Phương pháp giải:
Tìm ĐK.
Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ: \(t = \log_3x\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.
Lời giải chi tiết:
ĐK: \(x>0\).
Đặt \(t = \log_3x\) ta được bất phương trình
\(t^2– 5t + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3\).
\(⇔2 ≤ \log_3x ≤3 ⇔3^2 ≤ x ≤ 3^3 \) \( ⇔ 9 ≤ x ≤ 27\).
Kết hợp điều kiện ta có \(9 ≤ x ≤ 27\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \( S = \left[9;27 \right] \).
