Video hướng dẫn giải
Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(4x + y + 2z + 1 = 0\) và mặt phẳng \((β)\) có phương trình \(2x - 2y + z + 3 = 0\).
LG a
a) Chứng minh rằng \((α)\) cắt \((β)\).
Phương pháp giải:
Gọi \(\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} \) lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right);\,\,\left( \beta \right)\), chứng minh hai vector \({\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} }\) không cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_1} = (4; 1; 2)\)
Mặt phẳng \((β)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_2} = (2; -2; 1)\)
Vì \({4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1} \) và \(\overrightarrow {n_2} \) không cùng phương.
Suy ra \((α)\) và \((β)\) cắt nhau.
LG b
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là giao của \((α)\) và \((β)\).
Phương pháp giải:
Tìm một điểm thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \matrix{4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\), điểm đó thuộc d.
\(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right]\) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\).
Viết phương trình tham số của đường thẳng biết một điểm đi qua và VTCP.
Lời giải chi tiết:
\((α)\) cắt \((β)\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) có giá vuông góc với đường thẳng \(d\), vì vậy vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10\)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Ta có thể chọn vectơ \(\overrightarrow u = (1; 0; -2)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta tìm một điểm nằm trên \(d\).
Xét hệ\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Cho \(x = 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 2z = - 5\\ - 2y + z = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = - 3\end{array} \right.\) nên \({M_0}\left( {1;1; - 3} \right) \in \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\) hay \({M_0} \in d\)
Phương trình tham số của \(d\) là:\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = - 3 - 2t \hfill \cr} \right.\)
Cách 2:
Phương trình đt d là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + y + 2z + 1 = 0\\
4x - 4y + 2z + 6 = 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + y + 2z + 1 - (4x - 4y + 2z + 6) = 0\\
4x + y + 2z + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5y - 5 = 0\\
4x + y + 2z + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
4x + 1 + 2z + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
2x + z + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Đặt x = t, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
y = 1\\
x = t\\
2t + z + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1\\
z = - 2t - 1
\end{array} \right.\)
Vậy giao tuyến của 2 mặt phẳng có PT là
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1\\
z = - 2t - 1
\end{array} \right.\)
LG c
c) Tìm điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M(4 ; 2 ; 1)\) qua mặt phẳng \((α)\).
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng \((α)\).
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng \((α)\).
- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của d và mặt phẳng \((α)\).
Khi đó H là trung điểm của MM', suy ra tọa độ của điểm M'.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (4; 1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) đi qua \(M(4; 2; 1)\) và vuông góc với \((α)\), nhận vectơ \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:
\(\left\{ \matrix{
x = 4 + 4t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)
Gọi \(H = \Delta \cap \left( \alpha \right)\) \( \Rightarrow H\left( {4 + 4t;2 + t;1 + 2t} \right)\).
Thay tọa độ \(H\) vào \(\left( \alpha \right)\) ta có:
\(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \) \(\Rightarrow H (0; 1; -1)\)
Gọi \(M' (x; y; z)\) đối xứng với \(M\) qua mp \((α)\) thì H là trung điểm MM'
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.0 - 4 = - 4\\{y_{M'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{M'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M'\left( { - 4;0; - 3} \right)\)
LG d
d) Tìm điểm \(N'\) đối xứng với điểm \(N(0 ; 2 ; 4)\) qua đường thẳng \(d\).
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm N trên đường thẳng \(d\).
- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với đường thẳng \(d\).
- Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của (P) và đường thẳng \(d\).
Khi đó I là trung điểm của NN', suy ra tọa độ của điểm N'.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = (1; 0; -2)\).
Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(N(0; 2; 4)\) và vuông góc với \(d\), nhận \(\overrightarrow a \) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:
\(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0\)
\((P)\): \(x - 2z + 8 = 0\)
Ta tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \((P)\). Ta có:
\(1+s - 2(-3-2s) + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow s = -3 \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)\)
\(N' (x; y; z)\) là điểm đối xứng của \(N\) qua \(d\) thì \(\overrightarrow {NN'} = 2\overrightarrow {NI} \)
\(\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)\), \(\overrightarrow {NN'} = (x; y - 2; z - 4) \)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = ( - 2).2 \hfill \cr
y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr
z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 2 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow N'( - 4;0;2)\)
Cách khác:
Gọi \(I\) là hình chiếu của \(N\) trên \(d\)\( \Rightarrow I\left( {1 + t;1; - 3 - 2t} \right) \in d\).
\(\overrightarrow {NI} = \left( {1 + t; - 2; - 7 - 2t} \right)\)
\(IN \bot d\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\)
\( \Leftrightarrow 1.\left( {1 + t} \right) + 0.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 7 - 2t} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 1 + t + 14 + 4t = 0\)
\( \Leftrightarrow 15 + 5t = 0 \Leftrightarrow t = - 3\)
\( \Rightarrow I\left( { - 2;1;3} \right)\)
\(N'\) đối xứng \(N\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm \(NN'\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2{x_I} - {x_N}\\{y_{N'}} = 2{y_I} - {y_N}\\{z_{N'}} = 2{z_I} - {z_N}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2.\left( { - 2} \right) - 0 = - 4\\{y_{N'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{N'}} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow N'\left( { - 4;0;2} \right)\)
