Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

155 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(α)$ có phương trình $4x + y + 2z + 1 = 0$ và mặt phẳng $(β)$ có phương trình $2x - 2y + z + 3 = 0$ .

LG a

a) Chứng minh rằng $(α)$ cắt $(β)$ .

Phương pháp giải:

Gọi $\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2}$ lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right);\,\,\left( \beta \right)$ , chứng minh hai vector ${\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} }$ không cùng phương.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n_1} = (4; 1; 2)$

Mặt phẳng $(β)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n_2} = (2; -2; 1)$

Vì ${4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1}$ và $\overrightarrow {n_2}$ không cùng phương.

Suy ra $(α)$ và $(β)$ cắt nhau.

LG b

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ là giao của $(α)$ và $(β)$ .

Phương pháp giải:

Tìm một điểm thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \matrix{4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.$ , điểm đó thuộc d.

$\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right]$ là 1 VTCP của đường thẳng $d$ .

Viết phương trình tham số của đường thẳng biết một điểm đi qua và VTCP.

Lời giải chi tiết:

$(α)$ cắt $(β)$ nên $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ có giá vuông góc với đường thẳng $d$ , vì vậy vectơ $\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10$ ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ .

Ta có thể chọn vectơ $\overrightarrow u = (1; 0; -2)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên $d$ .

Xét hệ $\left\{ \matrix{ 4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.$

Cho $x = 1$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 2z = - 5\\ - 2y + z = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = - 3\end{array} \right.$ nên ${M_0}\left( {1;1; - 3} \right) \in \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)$ hay ${M_0} \in d$

Phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = 1 \hfill \cr z = - 3 - 2t \hfill \cr} \right.$

Cách 2:

Phương trình đt d là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x + y + 2z + 1 = 0\\ 4x - 4y + 2z + 6 = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x + y + 2z + 1 - (4x - 4y + 2z + 6) = 0\\ 4x + y + 2z + 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5y - 5 = 0\\ 4x + y + 2z + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 1\\ 4x + 1 + 2z + 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 1\\ 2x + z + 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}$

Đặt x = t, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} y = 1\\ x = t\\ 2t + z + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 1\\ z = - 2t - 1 \end{array} \right.$

Vậy giao tuyến của 2 mặt phẳng có PT là

$\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 1\\ z = - 2t - 1 \end{array} \right.$

LG c

c) Tìm điểm $M'$ đối xứng với điểm $M(4 ; 2 ; 1)$ qua mặt phẳng $(α)$ .

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng $(α)$ .

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng $(α)$ .

- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của d và mặt phẳng $(α)$ .

Khi đó H là trung điểm của MM', suy ra tọa độ của điểm M'.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = (4; 1; 2)$ .

Đường thẳng $∆$ đi qua $M(4; 2; 1)$ và vuông góc với $(α)$ , nhận vectơ $\overrightarrow n$ làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:

$\left\{ \matrix{ x = 4 + 4t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.$

Gọi $H = \Delta \cap \left( \alpha \right)$ $\Rightarrow H\left( {4 + 4t;2 + t;1 + 2t} \right)$ .

Thay tọa độ $H$ vào $\left( \alpha \right)$ ta có:

$4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$ $\Rightarrow H (0; 1; -1)$

Gọi $M' (x; y; z)$ đối xứng với $M$ qua mp $(α)$ thì H là trung điểm MM'

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.0 - 4 = - 4\\{y_{M'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{M'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 3\end{array} \right.$ $\Rightarrow M'\left( { - 4;0; - 3} \right)$

LG d

d) Tìm điểm $N'$ đối xứng với điểm $N(0 ; 2 ; 4)$ qua đường thẳng $d$ .

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm N trên đường thẳng $d$ .

- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua N và vuông góc với đường thẳng $d$ .

- Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của (P) và đường thẳng $d$ .

Khi đó I là trung điểm của NN', suy ra tọa độ của điểm N'.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = (1; 0; -2)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $N(0; 2; 4)$ và vuông góc với $d$ , nhận $\overrightarrow a$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

$1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0$

$(P)$ : $x - 2z + 8 = 0$

Ta tìm giao điểm $I$ của $d$ và $(P)$ . Ta có:

$1+s - 2(-3-2s) + 8 = 0$ $\Leftrightarrow s = -3 \Leftrightarrow I( -2; 1; 3)$

$N' (x; y; z)$ là điểm đối xứng của $N$ qua $d$ thì $\overrightarrow {NN'} = 2\overrightarrow {NI}$

$\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)$ , $\overrightarrow {NN'} = (x; y - 2; z - 4)$

$\Rightarrow \left\{ \matrix{ x = ( - 2).2 \hfill \cr y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 2 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow N'( - 4;0;2)$

Cách khác:

Gọi $I$ là hình chiếu của $N$ trên $d$ $\Rightarrow I\left( {1 + t;1; - 3 - 2t} \right) \in d$ .

$\overrightarrow {NI} = \left( {1 + t; - 2; - 7 - 2t} \right)$

$IN \bot d$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0$

$\Leftrightarrow 1.\left( {1 + t} \right) + 0.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 7 - 2t} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 1 + t + 14 + 4t = 0$

$\Leftrightarrow 15 + 5t = 0 \Leftrightarrow t = - 3$

$\Rightarrow I\left( { - 2;1;3} \right)$

$N'$ đối xứng $N$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm $NN'$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2{x_I} - {x_N}\\{y_{N'}} = 2{y_I} - {y_N}\\{z_{N'}} = 2{z_I} - {z_N}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2.\left( { - 2} \right) - 0 = - 4\\{y_{N'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{N'}} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow N'\left( { - 4;0;2} \right)$

SGK Toán lớp 12