Đề bài
Tính \({i^3},{i^4},{i^5}\).
Nêu cách tính \(i^n\) với \(n\) là một số tự nhiên tuỳ ý.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích \({i^3} = {i^2}.i;\,\,\,{i^4} = {i^3}.i;\,\,{i^5} = {i^4}.i\), sử dụng quy ước \({i^2} = - 1\).
Lời giải chi tiết
\(\begin{array}{l}{i^3} = {i^2}.i = - 1.i = - i\\{i^4} = {i^3}.i = - i.i = - {i^2} = 1\\{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i\end{array}\).
Ta có:
Với \(n = 4k\) thì \({i^n} = {i^{4k}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} = {1^k} = 1\)
Với \(n = 4k + 1\) thì \({i^n} = {i^{4k + 1}} = {i^{4k}}.i = 1.i = i\)
Với \(n = 4k + 2\) thì \({i^{4k + 2}} = {i^{4k}}.{i^2} = 1.\left( { - 1} \right) = - 1\)
Với \(n = 4k + 3\) thì \({i^{4k + 3}} = {i^{4k}}.{i^3} = 1.\left( { - i} \right) = - i\)
Vậy \({i^{4k}} = 1,\) \({i^{4k + 1}} = i,\)\({i^{4k + 2}} = - 1,\)\({i^{4k + 3}} = - i\).
