Video hướng dẫn giải
LG a
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số f(x)=−x3+3x2+9x+2.
Phương pháp giải:
*Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
*Sự biến thiên của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y′
+ Tại các điểm đó đạo hàm y′ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y′ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
*Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,
- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox
- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: D=R
* Sự biến thiên:
Ta có:y′=−3x2+6x+9.
⇒y′=0⇔−3x2+6x+9=0
⇔−3(x+1)(x−3)=0⇔[x+1=0x−3=0⇔[x=−1x=3.
- Hàm số đồng biến trên khoảng: (−1;3), nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và (3;+∞)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=3; yCĐ=29
Hàm số đạt cực tiểu tại x=−1; yCT=−3
- Giới hạn:
limx→−∞f(x)=+∞
limx→+∞f(x)=−∞
-Bảng biến thiên:
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao trục Oy tại điểm (0;2)
Đồ thị hàm số nhận I(1;13) làm tâm đối xứng.
LG b
b) Giải bất phương trình f′(x−1)>0.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm y=f′(x). Thay x−1 vào vị trí của x để tính f′(x−1) và giải bất phương trình f′(x−1)>0.
Lời giải chi tiết:
y=f(x)=−x3+3x2+9x+2
f′(x)=−3x2+6x+9.
⇒f′(x−1)=−3(x−1)2+6(x−1)+9
=−3(x2−2x+1)+6x−6+9 =−3x2+6x−3+6x+3
= −3x2+12x
⇒f′(x−1)>0 ⇔−3x2+12x>0⇔0<x<4
LG c
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f″(x0)=−6.
Phương pháp giải:
Giải phương trình f″(x0)=−6 để tìm x0. Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) theo công thức: y=y′(x0)(x−x0)+y(x0).
Lời giải chi tiết:
Có f″(x)=−6x+6
f″(x0)=−6⇔−6x0+6=−6 ⇔x0=2
Do đó: f′(2)=9,f(2)=24.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0=2 là:
y=f′(2)(x−2)+f(2) ⇔y=9(x−2)+24 ⇔y=9x+6.
