Video hướng dẫn giải
Cho \(a, b\) là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
LG a
a) \(\dfrac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ - 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ - 1}}{4}}}} \right)}};\)
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các công thức lũy thừa cơ bản và các hằng đẳng thức để rút gọn các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
\(\dfrac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{{ - 1}}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{{ - 1}}{4}}}} \right)}} = \dfrac{{{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{{ - 1}}{3}}} + {a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{{ - 1}}{4}}}}}\)
\(= \dfrac{{{a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{4} + \frac{{ - 1}}{4}}}}} = \dfrac{{{a^1} + {a^2}}}{{{a^1} + {a^0}}} \\= {\dfrac{{a + a}}{{a + 1}}^2} = \dfrac{{a\left( {1 + a} \right)}}{{a + 1}} = a\) (Với \(a>0\)).
LG b
b) \(\dfrac{{{b^{\frac{1}{5}}}\left( {\sqrt[5]{{{b^4}}} - {\rm{ }}\sqrt[5]{{{b^{ - 1}}}}} \right)}}{{{b^{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt[3]{b} - {\rm{ }}\sqrt[3]{{{b^{ - 2}}}}} \right)}}\)
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các công thức lũy thừa cơ bản và các hằng đẳng thức để rút gọn các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
\(\dfrac{{{b^{\frac{1}{5}}}\left( {\sqrt[5]{{{b^4}}} - \sqrt[5]{{{b^{ - 1}}}}} \right)}}{{{b^{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{{{b^{ - 2}}}}} \right)}} = \dfrac{{{b^{\frac{1}{5}}}\left( {{b^{\frac{4}{5}}} - {b^{\frac{{ - 1}}{5}}}} \right)}}{{{b^{\frac{2}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{{ - 2}}{3}}}} \right)}}\)
\( = \dfrac{{{b^{\frac{1}{5}}}.{b^{\frac{4}{5}}} - {b^{\frac{1}{5}}}.{b^{ - \frac{1}{5}}}}}{{{b^{\frac{2}{3}}}.{b^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}.{b^{ - \frac{2}{3}}}}}\)
\( = \dfrac{{{b^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}} - {b^{\frac{1}{5} - \frac{1}{5}}}}}{{{b^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}} - {b^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}}} = \dfrac{{b - 1}}{{b - 1}} = 1\) ( Với điều kiện \(b>0; \, b \neq 1\)).
LG c
c) \(\dfrac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {a^{\frac{{ - 1}}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - {\rm{ }}\sqrt[3]{{{b^2}}}}}\);
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các công thức lũy thừa cơ bản và các hằng đẳng thức để rút gọn các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
\(\dfrac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {a^{\frac{{ - 1}}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - {\rm{ }}\sqrt[3]{{{b^2}}}}}\)
\( = \dfrac{{{a^{ - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}} - {a^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{b^{ - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}}}\)
\(=\dfrac{{{a^{\frac{{ - 1}}{3}}}{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{2}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}}} = {a^{\frac{{ - 1}}{3}}}{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}\)
\( = {\left( {ab} \right)^{ - \frac{1}{3}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {ab} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\)
(với điều kiện \(a \neq b; a, b >0\).).
LG d
d) \(\dfrac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + {\rm{ }}\sqrt[6]{b}}}\)
Phương pháp giải:
+) Sử dụng các công thức lũy thừa cơ bản và các hằng đẳng thức để rút gọn các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
\(\dfrac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + {\rm{ }}\sqrt[6]{b}}} = \dfrac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = \dfrac{{{a^{\frac{2}{6}}}{b^{\frac{3}{6}}} + {b^{\frac{2}{6}}}{a^{\frac{3}{6}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}}\)
\( = \dfrac{{{a^{\frac{2}{6}}}{b^{\frac{2}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{2}{6}}}{b^{\frac{2}{6}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = {\rm{ }}\sqrt[3]{{ab}}.\) (Với \(a, b > 0\)).
