Giải bài 3 trang 43 SGK Giải tích 12

177 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

LG a

$\displaystyle {{x + 3} \over {x - 1}}$ ,

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm ${{x}_{i}}$ mà tại đó đạo hàm có $y'=0$ hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: $y\left( {{x}_{i}} \right).$

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có): $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y,...$

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: $x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).$

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : $\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}$ ;

* Sự biến thiên:

Ta có: $\displaystyle y' = {{ - 4} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$ ;

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: $\displaystyle (-\infty;1)$ và $\displaystyle (1;+\infty)$ .

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty$ , $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty$ ; $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1$

Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = 1$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = 1$ .

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I(1;1)$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: $\displaystyle (0;-3)$ , trục hoành tại $\displaystyle (-3;0)$

LG b

$\displaystyle {{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}$ ,

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : $\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\}$ ;

* Sự biến thiên:

Ta có: $\displaystyle y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2$

- Hàm số đồng biến trên khoảng: $\displaystyle (-\infty;2)$ và $\displaystyle (2;+\infty)$

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty$ , $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty$ , $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - 1$

Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = 2$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = -1$ .

Bảng biến thiên :

* Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I(2;-1)$ lầm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: $\displaystyle \left( {0; - {1 \over 4}} \right)$ , trục hoành tại: $\displaystyle \left( {{1 \over 2};0} \right)$

LG c

$\displaystyle {{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định : $\displaystyle R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}$ ;

Sự biến thiên:

Ta có: $\displaystyle y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}$

- Hàm số nghịch biến trên khoảng: $\displaystyle (-\infty;{-1\over 2})$ và $\displaystyle ({-1\over 2};+\infty)$

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

$\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty$ , $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty$ , $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}$

Do đó, tiệm cận đứng là: $\displaystyle x = - {1 \over 2}$ ; tiệm cận ngang là: $\displaystyle y = - {1 \over 2}$ .

Bảng biến thiên :

* Đồ thị

Đồ thị nhận điểm $\displaystyle I( - {1 \over 2}; - {1 \over 2})$ làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao $\displaystyle Ox$ tại: $\displaystyle (2;0)$ , $\displaystyle Oy$ tại: $\displaystyle (0;2)$

SGK Toán lớp 12