Video hướng dẫn giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
LG a
\(\displaystyle {{x + 3} \over {x - 1}}\),
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
*) Xét chiều biến thiên của hàm số:
+) Tính đạo hàm.
+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y'=0\) hoặc đạo hàm không xác định.
+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)
*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y,...\)
*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).\)
+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).\)
+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định : \(\displaystyle \mathbb R{\rm{\backslash \{ }}1\}\);
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {{ - 4} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\) ;
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;1)\) và \(\displaystyle (1;+\infty)\).
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = +\infty\); \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = 1\); tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y = 1\).
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I(1;1)\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại:\(\displaystyle (0;-3)\), trục hoành tại \(\displaystyle (-3;0)\)
LG b
\(\displaystyle {{1 - 2{\rm{x}}} \over {2{\rm{x}} - 4}}\),
Lời giải chi tiết:
Tập xác định : \(\displaystyle \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}2\} \);
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;2)\) và \(\displaystyle (2;+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - 1\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = 2\); tiệm cận ngang là:\(\displaystyle y = -1\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị:
Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I(2;-1)\) lầm tâm đối xứng.
Đồ thị giao trục tung tại: \(\displaystyle \left( {0; - {1 \over 4}} \right)\), trục hoành tại: \(\displaystyle \left( {{1 \over 2};0} \right)\)
LG c
\(\displaystyle {{ - x + 2} \over {2{\rm{x}} + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định : \(\displaystyle R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\);
Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}\)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\displaystyle (-\infty;{-1\over 2})\) và \(\displaystyle ({-1\over 2};+\infty)\)
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ - }} = - \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {{{1 \over 2}}^ + }} = + \infty \), \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = - {1 \over 2}\)
Do đó, tiệm cận đứng là: \(\displaystyle x = - {1 \over 2}\); tiệm cận ngang là: \(\displaystyle y = - {1 \over 2}\).
Bảng biến thiên :
* Đồ thị
Đồ thị nhận điểm \(\displaystyle I( - {1 \over 2}; - {1 \over 2})\) làm tâm đối xứng.
Đồ thị giao \(\displaystyle Ox\) tại: \(\displaystyle (2;0)\), \(\displaystyle Oy\) tại: \(\displaystyle (0;2)\)
