Video hướng dẫn giải
Trong không gian cho ba điểm A,B,CA,B,C.
LG a
Xác định điểm GG sao cho →GA+2→GB−2→GC=0.−−→GA+2−−→GB−2−−→GC=0.
Phương pháp giải:
Biến đổi đẳng thức vector trong câu a) theo những điểm cố định và suy ra vị trí của điểm G.
Lời giải chi tiết:
Ta có
→GA+2→GB−2→GC=→0⇔→GA+2(→GB−→GC)=→0⇔→GA+2→CB=0⇔→GA=2→BC
Gọi D là điểm mà →DC=2→BC tức là điểm B là trung điểm của CD ⇒→GA=→DC
Vậy G là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACDG.
LG b
Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2+2MB2−2MC2=k2, với k là hằng số.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm, chèn điểm G vào tất cả các vector →MA;→MB;→MC, biến đổi và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Gọi G là điểm trong câu a): →GA+2→GB−2→GC=→0.
Ta có: MA2=→MA2=(→MG+→GA)2
=MG2+GA2+2→MG.→GA;
MB2=→MB2=(→MG+→GB)2
=MG2+GB2+2→MG.→GB;
MC2=→MC2=(→MG+→GC)2
=MG2+GC2+2→MG.→GC.
Từ đó MA2+2MB2−2MC2=k2
⇔MG2+GA2+2GB2−2GC2
+2→MG(→GA+2→GB−2→GC)=k2
⇔MG2=k2−(GA2+2GB2−2GC2)
(Vì →GA+2→GB−2→GC=→0).
Do vậy:
Nếu k2−(GA2+2GB2−2GC2)=r2>0 thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.
Nếu k2−(GA2+2GB2−2GC2)=r2=0 thì tập hợp M chính là điểm G.
Nếu k2−(GA2+2GB2−2GC2)=r2<0 thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.
