Video hướng dẫn giải
LG a
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}9x{\rm{ }} + {\rm{ }}35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\);
Phương pháp giải:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau :
+) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm.
+) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);...;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\)
+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\).
\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\cr&=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\cr&=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);\ f\left( {{x}_{2}} \right);...;\ f\left( {{x}_{m}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\)
+) Xét \(\displaystyle D=\left[ -4;\ 4 \right]\) có :
\(\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\ \in D \\ & x=-1\ \in D \\ \end{align} \right..\)
Ta có : \(\displaystyle y\left( -4 \right)=-41; y\left( -1 \right)=40;\) \(y\left( 3 \right)=8; y\left( 4 \right)=15.\)
Vậy \(\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=-1\) và \(\displaystyle \underset{x\in \left[ -4;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-41\ \ khi\ \ x=-4.\)
+) Xét \(\displaystyle D=\left[ 0;\ 5 \right]\) có:
\(\displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x-9\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-9=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=3\ \in D \\ & x=-1\ \notin D \\ \end{align} \right..\)
Ta có : \(\displaystyle y\left( 0 \right)=35;\ \ y\left( 3 \right)=8;\) \( y\left( 5 \right)=40.\)
Vậy \(\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=40\ \ khi\ \ x=5\) và \(\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=8\ \ khi\ \ x=3.\)
LG b
\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\);
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2\)
Ta có:\(\displaystyle y'=4{{x}^{3}}-6x\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-6x=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2} \\ & x=-\sqrt{\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} \right.\)
+) Xét \(\displaystyle D=\left[ 0;\ 3 \right]\) có: \(\displaystyle x=-\frac{\sqrt{6}}{2}\notin D.\)
Có: \(\displaystyle y\left( 0 \right)=2;\ \ y\left( 3 \right)=56;\) \( y\left( \dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)=-\dfrac{1}{4}.\)
Vậy \(\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{1}{4}\ \ khi\ \ x=\frac{\sqrt{6}}{2}\) và \(\displaystyle \underset{x\in \left[ 0;\ 3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=56\ \ khi\ \ x=3.\)
+) Xét \(\displaystyle D=\left[ 2;\ 5 \right]\) ta thấy \(\displaystyle x=0;\ \ x=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ \ \notin \ D.\)
Có \(\displaystyle y\left( 2 \right)=6;\ \ y\left( 5 \right)=552.\)
Vậy \(\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\min }}\,y=6\ \ khi\ \ x=2\) và \(\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=552\ \ khi\ \ x=5.\)
LG c
\(\displaystyle y = {{2 - x} \over {1 - x}}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\);
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle y=\frac{2-x}{1-x}=\frac{x-2}{x-1}\). Tập xác định: \(\displaystyle R\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Ta có: \(\displaystyle y'=\frac{1.\left( -1 \right)-1.\left( -2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0\ \ \forall x\ne 1.\)
+) Với \(\displaystyle D=\left[ 2;\ 4 \right]\) có: \(\displaystyle y\left( 2 \right)=0;\ \ y\left( 4 \right)=\frac{2}{3}.\)
Vậy \(\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=0\ \ khi\ \ x=2\) và \(\displaystyle \underset{x\in \left[ 2;\ 4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{2}{3}\ \ khi\ \ x=4.\)
+) Với \(\displaystyle D=\left[ -3;\ -2 \right]\) có: \(\displaystyle y\left( -3 \right)=\frac{5}{4};\ \ y\left( -2 \right)=\frac{4}{3}.\)
Vậy \(\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{5}{4}\ \ khi\ \ x=-3\) và \(\displaystyle \underset{x\in \left[ -3;\ -2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{4}{3}\ \ khi\ \ x=-2.\)
LG d
\(y = \sqrt {5 - 4{\rm{x}}}\) trên đoạn \([-1;1]\).
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle y=\sqrt{5-4x}\) . Tập xác định: \(\displaystyle \left( -\infty ;\ \frac{5}{4} \right].\)
Xét tập \(\displaystyle D=\left[ -1;\ 1 \right]:\)
Có: \(\displaystyle y'=\frac{\left( 5-4x \right)'}{2\sqrt{5-4x}}=\frac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0\ \forall x\in \left[ -1;\ 1 \right].\)
Ta có: \(\displaystyle y\left( -1 \right)=3;\ \ y\left( 1 \right)=1.\)
Vậy \(\displaystyle \underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\min }}\,y=1\ \ khi\ \ x=1\) và \(\displaystyle \underset{x\in \left[ -1;\ 1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=3\ \ khi\ \ x=-1.\)
