Đề bài
Câu 1. Tìm \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \).
A. \(I = - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C\).
B. \(I = \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x + \sin x + C\).
C. \(I = {\sin ^2}x - \sin x + C\)
D. \(I = - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}x - \sin x + C\).
Câu 2. Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{1 + 3}}\,\,\,(m/s)\). Quãng đường vật đi được sau 4s xấp xỉ bằng :
A. 11m B. 12m
C. 13m D. 14m.
Câu 3. Cho hai hàm số \(f(x) = {x^2},\,\,g(x) = {x^3}\). Chọn mệnh đề đúng :
A. \(\int\limits_0^1 {f(x)\,dx \ge 0} \).
B. \(\int\limits_0^1 {g(x)\,dx \le 0} \).
C. \(\int\limits_0^1 {g(x)\,dx \ge \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} } \).
D. \(\int\limits_0^1 {f(x)\,dx \le 0} \).
Câu 4. Đặt \(I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx} \). Lựa chọn phương án đúng :
A. I = 1.
B. Cả ba phương án đều sai.
C. I = 2 – e
D. I = 3 – 1 .
Câu 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên (a ; b) và không phải là hàm hằng. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). Lựa chọn phương án đúng:
A. F(x) –C không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực C.
B. F(x) +2C không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực C.
C. CF(x) không phải là nguyên hàm của f(x) với mọi số thực \(C \ne 1\).
D. Cả 3 phương án đều sai.
Câu 6. Tính nguyên hàm \(\int {{{\left( {{e^3}} \right)}^{\cos x}}\sin x\,dx} \) ta được:
A. \( - {e^{3\cos x}} + C\).
B. \({e^{3\cos x}} + C\).
C. \( - \dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C\).
D. \(\dfrac{{{e^{3\cos x}}}}{3} + C\).
Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \) ta được:
A. \({x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C\).
B. \({x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C\).
C. \(2{x^2} - 3x - \ln |x - 2| + C\)
D.\(2{x^2} - 3x + \ln |x - 2| + C\).
Câu 8. Chọn phương án đúng .
A. \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha \in R} \).
B. \(\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln |Cx|} \), với C là hằng số .
C. \(\int {\dfrac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C} \), với mọi số thực a, b.
D. Cả 3 phương án trên đều sai.
Câu 9. Tính nguyên hàm \(\int {{3^{{x^2}}}x\,dx} \) ta được:
A. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2}\ln 3 + C\).
B. \({3^{{x^2}}} + C\).
C. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{2\ln 3}} + C\).
D. \(\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{2} + C\).
Câu 10. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx} \).
A. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a + \sin a\).
B. \(I = \left( {1 - \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a\).
C. \(I = \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\cos a + \sin a\).
D. \(I = \left( {1 + \dfrac{\pi }{2}} \right)\cos a - \sin a\)
Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = - 2 .
A. 17 B. \(\dfrac{{17}}{4}\)
C. \(\dfrac{{15}}{4}\) D. 4.
Câu 12. Tìm hàm số F(x) biết rằng \(F'(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) và đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm \(M\left( {\dfrac{\pi }{6};0} \right)\).
A. \(F(x) = \cot x + \sqrt 3 \).
B. \(F(x) = - \cot x + \sqrt 3 \).
C. \(F(x) = \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \).
D. \(F(x) = - \dfrac{1}{{\sin x}} + \sqrt 3 \).
Câu 13. Xét hàm số f(x) có \(\int {f(x)\,dx = F(x) + C} \). Với a, b là các số thực và \(a \ne 0\), khẳng định nào sau đây luôn đúng ?
A. \(\int {f(ax + b) = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \).
B. \(\int {f(ax + b) = aF(ax + b) + C} \).
C. \(\int {f(ax + b) = F(ax + b) + C} \).
D. \(\int {f(ax + b) = aF(x) + b + C} \).
Câu 14. Biến đổi \(\int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}\,dx} \)thành \(\int\limits_1^2 {f(t)\,dt\,,\,\,t = \sqrt {x + 1} } \). Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau ?
A. \(f(t) = 2{t^2} + 2t\).
B. \(f(t) = 2{t^2} - 2t\).
C. \(f(t) = {t^2} + t\).
D. \(f(t) = {t^2} - t\).
Câu 15. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0 ; 6]. Nếu \(\int\limits_1^5 {f(x)\,dx = 2\,,\,\,\int\limits_1^3 {f(x)\,dx = 7} } \) thì \(\int\limits_3^5 {f(x)\,dx} \) có giá trị bằng bao nhiêu ?
A. 5 B. -5
C. 9 D. -9 .
Câu 16. Cho tích phân \(I = \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \) , nếu đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = g'(x)\,dx\end{array} \right.\) thì:
A. \(I = f(x).g'(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'(x).g(x)\,dx} \)
B. \(I = f(x).g(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f(x).g(x)\,dx} \).
C. \(I = f(x).g(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f'(x).g(x)\,dx} \)
D. \(I = f(x).g'(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \).
Câu 17. Biết \(\int\limits_1^4 {f(t)\,dt = 3,\,\,\int\limits_1^2 {f(t)\,dt = 3} } \). Phát biểu nào sau đây nhân giá trị đúng ?
A. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 3} \).
B. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = - 3} \).
C. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 6} \).
D. \(\int\limits_2^4 {f(t)\,dt = 0} \).
Câu 18.Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{2x}}{.3^x}{.7^x}\).
A. \(\int {f(x)\,dx = \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C} \).
B. \(\int {f(x)\,dx = \dfrac{{{2^{2x}}{3^x}{7^x}}}{{\ln 4.\ln 3.\ln 7}} + C} \).
C. \(\int {f(x)\,dx = {{84}^x} + C} \).
D. \(\int {f(x)\,dx = {{84}^x}\ln 84 + C} \).
Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x - x\) và trục hoành.
A. 1 B. \(\dfrac{1}{6}\)
C. \(\dfrac{5}{6}\) D. \(\dfrac{1}{3}\).
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\).
A. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\).
B. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x + \dfrac{1}{x} + C\).
C. \(\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{1}{x} + C\).
D. \(\dfrac{{{x^3}}}{2} + 2x - \dfrac{1}{x} + C\).
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}\) là:
A. \(\cot x - \tan x\).
B. \( - \cot x + \tan x\).
C. \( - \cot x - \tan x\).
D. \(\cot x + \tan x\).
Câu 22. Tính tích phân \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx} \) ta được kết quả là :
A. \(\ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
B. \(\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
C. \( - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
D. \( - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Câu 23. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình \(y = {x^{\dfrac{1}{2}}}{e^{\dfrac{x}{2}}}\), trục Ox, x =1 , x = 2 quay một vòng quanh trục Ox bằng :
A. \(\pi e\). B. \(2\pi {e^2}\)
C. \(4\pi \) D. \(16\pi \).
Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1\) là \(\dfrac{a}{b}\). Khi đó b – a bằng:
A. 4 B. 2
C. 3 D. - 1
Câu 25. Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}\,dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right.\). Chọn khẳng định đúng .
A. A. \(I = 3e - 1 + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).
B. \(I = 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).
C. \(I = 3e - 2\int\limits_0^1 {{e^{x\,}}\,dx} \).
D. \(I = 3e + 2\int\limits_0^1 {{e^x}\,dx} \).
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| A | B | A | A | C |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| C | B | B | C | C |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | B | A | B | B |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| C | D | A | B | A |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| C | C | B | D | B |
Lời giải chi tiết
Câu 1.
Ta có:
\(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \)
\(= \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin x}}} \,d\left( {\sin x} \right) \)
\(= \int {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 + \sin x}}} \,d\left( {\sin x} \right)\)
\( = \int {\left( {1 - \sin x} \right)} \,d\left( {\sin x} \right) \)
\(= \left( {\sin x - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}x} \right) + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 2.
Quãng đường vật đi được sau 4s là:
\(s\left( t \right) = \int\limits_0^4 {\left( {1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}} \right)\,dt} \)
\(= \int\limits_0^4 {\left( {1,2 + t - 3 + \dfrac{{13}}{{t + 3}}} \right)\,dt} \)
\(= \left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} - 1,8t + 13\ln \left| {t + 3} \right|} \right)\left| \begin{array}{l}^4\\_0\end{array} \right.\)
\( = \left( {8 - 1,8.4 + 13\ln 7} \right) - 13\ln 3\)\( \approx 12\left( m \right)\)
Chọn đáp án B.
Câu 3.
Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^2}} dx = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{3}\)
\(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} \,dx = \int\limits_0^1 {{x^3}} dx = \left( {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{4}\)
Chọn đáp án A.
Câu 4.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx} = \left( {x\ln x} \right)\left| {_1^e} \right. - \int\limits_1^e {dx} \)\(\, = e - \left( x \right)\left| {_1^e} \right. = e - \left( {e - 1} \right) = 1\)
Chọn đáp án A.
Câu 5.
Ta có \(\int {f\left( x \right)} \,dx = F\left( x \right) + C\)
\( \Rightarrow \)\(CF\left( x \right)\) không phải là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)với mọi số thực \(C \ne 1\).
Chọn đáp án C.
Câu 6.
Ta có: \(\int {{{\left( {{e^3}} \right)}^{\cos x}}\sin x\,dx} \)
\(= - \dfrac{1}{3}\int {{e^{3\cos x}}\,d\left( {3\cos x} \right)} \)
\(= - \dfrac{1}{3}{e^{3\cos x}} + C\)
Chọn đáp án C.
Câu 7.
Ta có: \(\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \)
\(= \int {\dfrac{{2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + x - 2 + 1}}{{x - 2}}} \,dx \)
\(= \int {\left( {2\left( {x - 2} \right) + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)} \,dx\)
\( = \left( {{x^2} - 3x + \ln \left| {x - 2} \right|} \right) + C\)
Chọn đáp án B.
Câu 8.
+ Ta có: \(\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right|} + C \to \) Đáp án B sai.
+ Ta có \(\int {\dfrac{{dx}}{{{x^\alpha }}} = \dfrac{{{x^{1 - \alpha }}}}{{1 - \alpha }} + C\,,\forall \alpha \in R} ,\alpha \ne 1 \to \) Đáp án A sai.
+ Ta có: \(\int \dfrac{{dx}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}\)
\(= \dfrac{1}{{a - b}}\int {\left( {\dfrac{1}{{x + b}} - \dfrac{1}{{x + a}}} \right)\,dx}\)
\(= \dfrac{1}{{a - b}}\ln \left| {\dfrac{{x + b}}{{x + a}}} \right| + C \)
Chọn đáp án C.
Câu 9.
Ta có: \(\int {{3^{{x^2}}}x\,dx} = \int {{3^{{x^2}}}} d\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right) \)\(\,= \dfrac{1}{2}\int {{3^{{x^2}}}} d\left( {{x^2}} \right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{3^{{x^2}}}}}{{\ln 3}} + C\)
Chọn đáp án C.
Câu 10.
Ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx} \)\(\,= - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\,d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = d\left( {\sin \left( {a - x} \right)} \right)\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin \left( {a - x} \right)\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(I = - \left( {x\sin \left( {a - x} \right)} \right)\left| {_{_{\scriptstyle\atop{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin \left( {a - x} \right)} \,dx\)
\(= - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} d \left( {\cos \left( {a - x} \right)} \right)\)
\( = - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {a - x} \right)\left| \begin{array}{l}^{\dfrac{\pi }{2}}\\_0\end{array} \right. \)
\(= - \dfrac{\pi }{2}\sin \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {a - \dfrac{\pi }{2}} \right) - \cos a\)
\( = \dfrac{\pi }{2}\cos a + \sin a - \cos a \)
\(= \left( {\dfrac{\pi }{2} - 1} \right)\,\cos a + \sin a\)
Chọn đáp án C.
Câu 11.
Diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức
\(S = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {{x^3}} \right|} \,dx = \left| {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|\left| \begin{array}{l}^{ - 1}\\_{ - 2}^{}\end{array} \right.\)\(\, = \left| {\dfrac{1}{4} - 4} \right| = \dfrac{{15}}{4}.\)
Chọn đáp án C.
Câu 12.
Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} = \left( { - \cot x} \right) + C\)
Theo giả thiết ta có: \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow - \cot \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = \sqrt 3 \)
Chọn đáp án B.
Câu 13.
Ta có: \(\int {f(x)\,dx = F(x) + C} \)\( \Rightarrow \)\(\int {f(ax + b) = \dfrac{1}{a}F(ax + b) + C} \)
Chọn đáp án A.
Câu 14.
Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 3 \to t = 2\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^2 {2t.\dfrac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}} \,dt = \int\limits_1^2 {2t\left( {t - 1} \right)\,dt} \)
\( \Rightarrow f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\)
Chọn đáp án B.
Câu 15.
Ta có: \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)} \,dx \)\(\,= \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,dx + \int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,dx = 2 \)
\(\Rightarrow \int\limits_3^5 {f\left( x \right)} \,dx = 2 - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,dx\)\(\, = 2 - 7 = - 5\)
Chọn đáp án B.
Câu 16.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = g'(x)\,dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)\\v = g\left( x \right)\end{array} \right.\)
Khi đó \(I = \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx} \)\(\, = \left( {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right)\left| \begin{array}{l}^b\\_a\end{array} \right. - \int\limits_a^b {g\left( x \right)} f'\left( x \right)\,dx\)
Chọn đáp án A.
Câu 17.
Ta có: \(\int\limits_1^4 {f(t)\,dt = \,\,\int\limits_1^2 {f(t)\,dt + \int\limits_2^4 {f\left( t \right)\,dt} } } \)\(\,= 3 \)
\(\Rightarrow \int\limits_2^4 {f\left( t \right)\,dt} = 3 - \int\limits_1^2 {f(t)\,dt} \)\(\, = 3 - 3 = 0\)
Chọn đáp án D.
Câu 18.
Ta có: \(\int {{2^{2x}}{3^x}{7^x}} dx = \int {{{84}^x}} dx = \int f(x)\,dx \)\(\,= \dfrac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 19.
Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt x - x = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - x} \right)\,dx} \)\(\, = \left( {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \dfrac{1}{6}\)
Chọn đáp án B.
Câu 20.
Ta có: \(\int {\dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} \,dx = \int {\dfrac{{{x^4} - 2{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} \,dx\)
\(= \int {\left( {{x^2} - 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx \)
\(= \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2x - \dfrac{1}{x} + C\)
Chọn đáp án A.
Câu 21.
Ta có: \(\int {\dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} \,dx\)
\(= \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}} \,dx\)
\(= \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} \,dx \)
\(= - \cot x - \tan x + C\)
Chọn đáp án C.
Câu 22.
Ta có: \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\,dx} \)
\(= \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{\sin x}}\,d\left( {\sin x} \right)} \)
\(= \ln \left| {\sin x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. = - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Chọn đáp án C.
Câu 23.
Thể tích của khối tròn xoay được xác định bởi công thức:
\(V = \pi \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} = \pi {e^x}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)|_1^2 \)\(\,= \pi \left( {2{e^2} - 0} \right) = 2\pi {e^2}\)
Câu 24.
Diện tích hình phẳng dưới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị được xác định bằng công thức:
\(S = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)} \,dx + \int\limits_0^1 {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)} \,dx\)
\(= \left( {x - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. + \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{{{x^3}}}{{12}}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right.\)
\( = 1 - \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{4}{3}\)
Khi đó \(b - a = 3 - 4 = - 1.\)
Chọn đáp án D.
Câu 25.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
Khi đó
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}\,dx} \)
\(= \left( {\left( {2x + 1} \right){e^x}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - 2\int\limits_0^1 {{e^x}} dx \)
\(= 3e - 1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}} dx\)
Chọn đáp án B
