Đề bài
Hãy chứng minh Tính chất 3.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)\).
- Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\);
\(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)\).
Ta có \(f\left( x \right) = F'\left( x \right),g\left( x \right) = G'\left( x \right)\).
Suy ra \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} \) \( = \int {\left[ {F'\left( x \right) \pm G'\left( x \right)} \right]dx} \) \( = \int {\left[ {F\left( x \right) \pm G\left( x \right)} \right]'dx} \) \( = F\left( x \right) \pm G\left( x \right) + C\)
Lại có \(\int {f\left( x \right)dx} \pm \int {g\left( x \right)dx} \) \( = \int {F'\left( x \right)dx} \pm \int {G'\left( x \right)dx} \) \( = F\left( x \right) \pm G\left( x \right) + C\).
Vậy \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} \pm \int {g\left( x \right)dx} \) (đpcm)
