Video hướng dẫn giải
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh đều bằng a.
LG a
a) Tính thể tích khối tứ diện A′BB′C.
Phương pháp giải:
Gọi M là trung điểm của B′C′. Chứng minh A′M⊥(BCC′B′). Áp dụng công thức VA′BB′C=13A′M.SBB′C.
Lời giải chi tiết:
a) Ta tính thể tích hình chóp A′.BCB′.
Gọi M là trung điểm của B′C′, ta có: A′M⊥B′C′ (1)
Lăng trụ ABC.A′B′C′ là lăng trụ đứng nên:
BB′⊥(A′B′C′)⇒BB′⊥A′M (2)
Từ (1) và (2) suy ra A′M⊥(BB′C′) hay A′M là đường cao của hình chóp A′.BCB′.
Ta có: A′M = a√32;SBB′C=12a2
⇒VA′BB′C=13.A′M.SBB′C ⇒VA′BB′C=a3√312
Cách khác:
Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp A′.ABC,C.A′B′C′ và C.A′BB′
Ta có: VA′.ABC=VA′B′C′=13Sh trong đó S là diện tích đáy S=SABC=SABC và h là chiều cao của hình lăng trụ
Lại có: VABC.ABC=S.h
Do đó, VC.A′B′B=Sh−13Sh−13Sh=13Sh
Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên SABC=a2√34
Vì đây là hình lăng trụ đứng nên h=AA′=BB′=CC′=a.
Vậy thể tích hình chóp C.A′BB′ là:
VC.A′B′B=13.a2√34.a=a3√312
LG b
b) Mặt phẳng đi qua A′B′ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A′B′FE.
Phương pháp giải:
Phân chia và lắp ghép các khối đa diện: V=VB′.CEF+VB′.A′EC=V1+V2
Lời giải chi tiết:
Thể tích hình chóp C.A′B′EF bằng tổng thể tích hai hình chóp:
- V1 là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác CEF.
- V2 là thể tích hình chóp đỉnh B′, đáy là tam giác A′EC.
Do (ABC)//(A′B′C′) nên dễ thấy EF//AB. Ta cũng có: EF = 23a
Hình chóp B′.CEF có chiều cao BB′=a và diện tích đáy là: SCEF=12EF.CG=12.2a3.23.a√32=a2√39
Từ đây ta có: V1=a3√327
Do EC=23AC nên SA′BE=12A′A.EC=12.a.23a=a23
Gọi I là trung điểm của A′C′ ta có: {B′I⊥A′CB′I⊥AA′⇒B′I⊥(ACC′A′)⇒B′I⊥(A′EC)
Hình chóp B′.A′EC có chiều cao là B′I bằng a√32 nên V2=13.B′I.SA′EC=13.a√32.a23=a3√318
Vậy thể tích hình chóp C.A′B′FE là: V=V1+V2 = 5a3√354
