Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3.\)
Bằng đồ thị, biện luận theo \(m\) số nghiệm của phương trình \(- {x^4} + 2{x^2}+ 3=m.\)
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3.\)
1.TXĐ: \(D = \mathbb R\).
2. Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr} \)
\(y = - 4{x^3}\; + {\rm{ }}4x.\) Cho \(y’ = 0 ⇒ x = 0\) hoặc \(x = ±1.\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên: \(\left( { - \infty , - 1} \right);\;\left( {0,1} \right).\)
Hàm số nghịch biến trên: \(\left( { - 1,0} \right){\rm{; }}\left( {1, + \infty } \right).\)
Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại \(x = -1\) và \(x = 1.\)
Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại \(x = 0.\)
Đồ thị
* Giải biện luận phương trình \(- {x^4} + 2{x^2}+ 3=m.\)
Số giao điểm của hai đồ thị \(y = - {x^4} + 2{x^2}+ 3\) và \(y = m\) là số nghiệm của phương trình trên.
Với \(m > 4\) Hai đồ thị không giao nhau nên phương trình vô nghiệm.
Với \(m = 4\) hoặc \(m < 3:\) Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Với \(m = 3\). Hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Với \(3 < m < 4:\) Hai đồ thị giao nhau tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
