Video hướng dẫn giải
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
LG a
a) x2+y2+z2−8x−2y+1=0;
Phương pháp giải:
Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2, suy ra tâm I(a;b;c) và bán kính bằng R.
Cách 2: Phương trình có dạng x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0(a2+b2+c2−d>0) là phương trình mặt cầu có tâm I(−a;−b;−c) và bán kính R=√a2+b2+c2−d.
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Ta có phương trình :
x2+y2+z2−8x−2y+1=0⇔x2−8x+y2−2y+z2+1=0⇔x2−8x+16+y2−2y+1+z2=16⇔(x−4)2+(y−1)2+z2=16
⇔(x−4)2+(y−1)2+z2=42
Đây là mặt cầu tâm I(4;1;0) và có bán kính r=4.
Cách 2: Ta có:
2a=−8;2b=−2;2c=0;d=1⇒a=−4;b=−1;c=0;d=1R2=a2+b2+c2−d=(−4)2+(−1)2+0−1=16
do đó đây là phương trình mặt cầu tâm I(4;1;0), bán kính R=4.
LG b
b) 3x2+3y2+3z2−6x+8y+15z−3=0
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có phương trình:
3x2+3y2+3z2−6x+8y+15z−3=0⇔3x2−6x+3y2+8y+3z2+15z−3=0⇔x2−2x+y2+83y+z2+5z−1=0⇔(x2−2x+1)+[y2+2.43y+(43)2]+[z2+2.52z+(52)2]−1−1−(43)2−(52)2=0⇔(x−1)2+(y+43)2+(z+52)2−36136=0⇔(x−1)2+(y+43)2+(z+52)2=(196)2
Đây là mặt cầu tâm J(1;−43;−52) và có bán kính là R=196.
Cách 2:
Xét phương trình 3x2+3y2+3z2−6x+8y+15z−3=0
⇔x2+y2+z2−2x+83y+5z−1=0Tacó:2a=−1;2b=83;2c=5;d=−1⇒a=−1;b=43;c=52;d=−1R2=a2+b2+c2−d=(−1)2+(43)2+(52)2+1=36136=(196)2
do đó đây là phương trình mặt cầu tâm J(1;−43;−52), bán kính R=196.
