Giải bài 4 trang 101 SGK Giải tích 12

157 lượt xem

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

LG a

a) $∫x\ln (1+x)dx$ ;

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = u\left( x \right)\\dv = v'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = u'\left( x \right)dx\\v = v\left( x \right)\end{array} \right..$

Khi đó ta có: $\int {f\left( x \right)dx} = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {u'\left( x \right)v\left( x \right)dx} .$

Lời giải chi tiết:

$\;\;\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx.}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = xdx\end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \int {\dfrac{{{x^2}}}{{2\left( {x + 1} \right)}}dx} } \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left( {1 + x} \right)} \right) + C\\ = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) + C\\= \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {1 + x} \right) - \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{x}{2} + C.\end{array}$

LG b

b) $\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx}$

Lời giải chi tiết:

$\;\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx.}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} + 2x - 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x + 2} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx= \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - \int {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} } \\ = \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} .\end{array}$

Xét $\int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx:}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} \\= \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = \left( {x + 1} \right){e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C.\\ \Rightarrow \int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx} \\= \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2x{e^x} + C\\ = \left( {{x^2} - 1} \right){e^x} + C.\end{array}$

LG c

c) $∫x\sin(2x+1)dx$ ;

Lời giải chi tiết:

$\;\;\int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} .$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin \left( {2x + 1} \right)dx\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\end{array} \right..$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} \\= - \dfrac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \dfrac{1}{2}\int {\cos \left( {2x + 1} \right)dx} \\ = - \dfrac{1}{2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + \dfrac{1}{4}\sin \left( {2x + 1} \right) + C.\end{array}$

LG d

d) $\int (1-x)\cos xdx$

Lời giải chi tiết:

$\;\;\int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = 1 - x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - dx\\v = \sin x\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx} \\= \left( {1 - x} \right)\sin x + \int {\sin xdx} \\= \left( {1 - x} \right)\sin x - \cos x + C.\end{array}$

SGK Toán lớp 12