Video hướng dẫn giải
Cho hình bát diện đều ABCDEF
Chứng minh rằng :
LG a
a) Các đoạn thẳng AF,BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
a) Do B,C,D,E cách đều A và F nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của AF).
Tương tự, A,B,F,D đồng phẳng và A,C,F,E đồng phẳng.
Gọi I là giao của (AF) với (BCDE). Khi đó B,I,D là những điểm chung của hai mặt phẳng (BCDE) và (ABFD) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, E,I,C thẳng hàng.
Vậy AF,BD,CE đồng quy tại I.
Vì BCDE là hình thoi nên EC vuông góc với BC và cắt BC tại I là trung điểm của mỗi đường. I là trung điểm của AF và AF vuông góc với BD và EC, do đó các đoạn thẳng AF,BD, và CE đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
Cách khác:
Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.
B,C,D,E cách đều A và F suy ra B,C,D,E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF
Trong mp (BCDE), ta có BC=CD=DE=EB(=a)
⇒BCDE là hình thoi
⇒BD⊥EC và BD,EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD,AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
LG b
b) ABFD,AEFC và BCDE là những hình vuông.
Phương pháp giải:
+) Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+) Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
b) Ta có tứ giác DCBE là hình thoi.
Do AI vuông góc (BCDE) và AB=AC=AD=AE nên IB=IC=ID=IE.
Từ đó suy ra hình thoi BCDE là hình vuông. Tương tự ABFD,AEFC là những hình vuông.
Cách khác:
Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.
\begin{array}{l}BO \bot AO \Rightarrow AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} \\AO \bot OE \Rightarrow AE = \sqrt {A{O^2} + O{E^2}} \end{array}
Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC
⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.
Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.
