Các dạng toán về lũy thừa

151 lượt xem

1. Một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ (nếu có thể)

- Bước 2: Biến đổi các lũy thừa, căn bậc $n$ sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ.

- Bước 3: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc $n$ ) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc $\to$ lũy thừa (căn bậc $n$ ) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}$

Ta có: $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.$

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)

- Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, căn bậc $n$ .

- Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa:

1/ Với $a > 1$ thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n$

2/ Với $0 < a < 1$ thì ${a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n$

3/ Với $0 < a < b$ thì:

a) ${a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0$

b) ${a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0$

4/ Với $a > 0,b > 0$ thì ${a^n} = {b^n} \Leftrightarrow a = b$ .

Ở đó $m,n$ là các số hữu tỉ.

5/ Với $a < b,n$ là số tự nhiên lẻ thì ${a^n} < {b^n}$

Ví dụ 2: Cho $a > 1$ , so sánh $\sqrt[{15}]{{{a^7}}}$ với $\sqrt[5]{{{a^2}}}$

Ta có: $\sqrt[{15}]{{{a^7}}} = {a^{\frac{7}{{15}}}};\sqrt[5]{{{a^2}}} = {a^{\frac{2}{5}}}$

Vì $\dfrac{7}{{15}} > \dfrac{2}{5}$ và $a > 1$ nên ${a^{\frac{7}{{15}}}} > {a^{\frac{2}{5}}}$ hay $\sqrt[{15}]{{{a^7}}} > \sqrt[5]{{{a^2}}}$

2. Một số dạng toán thường gặp đối với lũy thừa với số mũ vô tỉ:

Dạng 1: Tính giá trị, rút gọn các biểu thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Biến đổi các lũy thừa sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

- Bước 2: Thực hiện tính toán với chú ý về thứ tự thực hiện các phép tính:

+ Nếu không có ngoặc: Lũy thừa (căn bậc $n$ ) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

+ Nếu có ngoặc: Thực hiện trong ngoặc $\to$ lũy thừa (căn bậc $n$ ) $\to$ nhân, chia $\to$ cộng, trừ.

Dạng 2: So sánh hai hay nhiều biểu thức.

Phương pháp:

- Bước 1: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ(nếu có thể)

- Bước 2: Tính toán, rút gọn các biểu thức đã cho bằng cách sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ, số mũ thực, căn bậc $n$ .

- Bước 3: So sánh giá trị các biểu thức đã rút gọn dựa vào tính chất về so sánh hai lũy thừa.