Đề bài
Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng
d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 4 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = - 3 + t'\\z = 4 - 5t'\end{array} \right.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Gọi tọa độ hai giao điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng theo tham số t,t'.
- Lập hệ phương trình ẩn t,t' dựa vào điều kiện MN ⊥ (Oxz) nên MN ⊥ Ox và MN ⊥ Oz.
Lời giải chi tiết
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d, toạ độ của M là M( t; -4 + t; 3 - t). N là điểm thuộc đường thẳng d', toạ độ của N là N(1 - 2t'; -3 + t'; 4 - 5t').
Ta có: \overrightarrow {MN}= (1 - 2t' - t; 1 + t' - t; 1 - 5t' + t)
Vì MN ⊥ (Oxz) nên MN ⊥ Ox và MN ⊥ Oz
Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow i = (1; 0; 0);
Oz có vectơ chỉ phương \overrightarrow j = (0; 0; 1).
MN ⊥ Ox
\Leftrightarrow (1 - 2t' - t).1 + (1 + t' - t).0 + (1 - 5t' + t).0 = 0
\Leftrightarrow 1 - 2t' - t = 0 (1)
MN ⊥ Oz
\Leftrightarrow (1 - 2t' - t).0 + (1 + t' - t).0 + (1 - 5t' + t).1 = 0
\Leftrightarrow 1 - 5t' + t = 0 (1)
Từ (1) và (2) ta có hệ\left\{ \begin{array}{l}1 - 2t' - t = 0\\1 - 5t' + t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{3}{7}\\t' = \frac{2}{7}\end{array} \right.
và được toạ độ của M\left( {{3 \over 7}; - {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right) , N\left( {{3 \over 7}; - {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right)
Từ đây ta có \overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{6}{7};0} \right) = \frac{6}{7}\left( {0;1;0} \right) và được phương trình đường thẳng MN đi qua M và nhận \overrightarrow u = \left( {0;1;0} \right) làm 1 VTCP là:\left\{ \matrix{x = {3 \over 7} \hfill \cr y = - {{25} \over 7} + t \hfill \cr z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right. (t \in R)
