Đề bài
Hình chóp \(S.ABC\) có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh \(SA, SB, SC\) và tiếp xúc với ba cạnh \(AB, BC, CA\) tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chóp tam giác đều là chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi \(M, N, P\) theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(SA, SB, SC\); \(D, E, F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CA\), các điểm \(D, E, F\) đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(AB, BC, CA\).
Ta có:
\(AD = AF\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow AB = AC\)
Tương tự: \(BD = BE \Rightarrow BC = AB\)
\( \Rightarrow AB = BC = CA\) hay \(△ABC\) là tam giác đều (1)
Lại có \(AM = AD; BN = BD = AD\)
và \(SM = SN = SP\)
\( \Rightarrow SM + AM = SN + NB\) hay \(SA = SB\)
Chứng minh tương tự ta có: \(SA = SB = SC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra hình chóp \(S.ABC\) là chóp tam giác đều.
